10. Супергравитация и великое объединение

Б. Зумино

В. Zumino. — in: Superspace and Supergravity, eds S. W. Hawking and M. Rocek, Cambridge Univ. Press, 1981.

Кратко описаны калибровочные теории великого объединения. Обсуждаются возможные пути обобщения этих теорий с включением гравитации, основанные на идее суперсимметрии.

Теории великого объединения

Низкоэнергетические взаимодействия элементарных частиц успешно описываются в настоящее время так называемой расширенной моделью Глэшоу — Вейнберга — Салама (или стандартной моделью). Она представляет собой перенормируемую калибровочную теорию, основанную на группе

Поскольку группа (1) является произведением трех простых групп, в теории имеются три калибровочные константы связи. Эти константы меняются с энергией в соответствии с уравнениями ренормгруппы и становятся приблизительно равными при энергиях порядка ГэВ. Поэтому можно предположить, что в этой области имеет место теория великого объединения основанная на калибровочной группе с единственной константой связи и содержащая низкоэнергетическую группу (1).

Как показали Джорджи и Глэшоу [1], минимальной ТВО соответствует группа . К этому заключению они пришли следующим образом. Группа (1) имеет ранг 4, поэтому группа ТВО должна иметь по крайней мере ранг 4. В группе (1) 15 левосторонних состояний, образующие семейство (или поколение), находятся в комплексном представлении; естественно предположить, что они будут также в комплексном представлении группы ТВО, что исключает группы без комплексных представлений. Наконец, Джорджи и Глэшоу наложили условие

сокращения аномалий, которое необходимо для перенормируемости калибровочной теории. Эти требования привели их к группе ТВО , в которой 15 левосторонних состояний семейства находятся в приводимом представлении соответствует антисимметричному тензору с двумя индексами). Большинство предложенных в настоящее время ТВО основано на группах, содержащих (по-видимому, разумны лишь такиегруппы). В больших группах (типа ) или все фермионы семейства можно поместить в одно неприводимое представление, однако симметрия этих, групп относительно замены левого на правое затрудняет понимание безмассовости нейтрино (если последние таковы). Еще большие группы позволяют объединить в одном неприводимом представлении различные семейства.

В ТВО имеется ряд феноменологических достижений, которые в значительной степени не зависят от частного вида выбранной группы Предположения о едином масштабе унификации для трех низкоэнергетических калибровочных групп и об отсутствии существенно новой физики ниже этого масштаба фиксируют следующее значение угла Вейнберга, параметризующего константы нейтральных токов [2—4]:

Это значение согласуется со значениями, полученными из анализа современных экспериментальных данных. Кроме того, минимальная ТВО связывает массы кварков и лептонов при энергии 1015 ГэВ. Расчет эффектов нарушения симметрии приводит, например, к согласующемуся с экспериментами значению отношения

По-видимому, можно понять и другие менее успешные массовые формулы. В скором будущем предстоит решающая проверка по крайней мере минимальной ТВО, предсказывающей распад протона со временем жизни

Но существующие модели великого объединения имеют и ряд недостатков, указывающих на явную неполноту этих моделей. В них содержится слишком много свободных параметров не фиксируются большинство масс фермионов и углов смешивания, а также константы связи и даже состав полей в хиггсовском секторе. Таким образом, несмотря на наличие единственной калибровочной константы связи, ТВО не являются действительно едиными. Кроме того, в них существует известная проблема «иерархий» [6], которая состоит в огромной разнице (на 12 порядков) между масштабами начального нарушения

и окончательного нарушения

Это требует подгонки параметров хиггсовского потенциала в каждом порядке теории возмущений. Наконец, самый очевидный дефект великого объединения состоит в пренебрежении гравитацией, которая, как мы знаем, должна становиться важной при энергиях ГэВ, что не намного больше масштаба великого объединения ГэВ.

Естественный путь объединения гравитации с полями меньших спинов предлагается супергравитацией [7—16]. Она является суперсимметричным расширением эйнштейновской гравитации. При разработке этой привлекательной идеи возникает следующая трудность. Максимальная теория супергравитации (т. е. максимальная теория, в супермультиплет которой входят спины не выше это -теория (здесь — число суперсимметрий), которая имеет группу внутренней симметрии Группа слишком мала, она не содержит низкоэнергетическую группу (1), а фундаментальный супермультиплет -теории (содержащий один спин 2, восемь спинов 3/2, 28 векторов, 56 спиноров и 70 скаляров) недостаточно велик, чтобы включать все известные кварки, лептоны и калибровочные поля спина 1 [17].

В принципе есть несколько возможных путей обойти эту трудность. Первый из них основан на том, что группа может содержать которые, по современным представлениям, являются точными калибровочными симметриями природы. Добавочная группа могла бы возникать чисто динамическим образом, а промежуточные бозоны слабых взаимодействий могли бы быть связанными состояниями фундаментальных полей (в отличие от элементарных полей фотона и глюонов). Для этого необходимо, чтобы 28 векторов фундаментального супермультиплета были калибровочными векторами Примечательно, что во всех теориях супергравитации имеется в точности нужное число векторов и притом в нужном представлении, чтобы они стали калибровочными полями Для оказалось возможным ввести для векторных полей калибровочную константу связи Вследствие суперсимметрии она сопровождается возникновением массы полей спина 3/2 и космологического члена Локализацию можно, по-видимому, осуществить и для -теории, однако результирующая космологическая постоянная непомерно велика, если порядка единицы. Тем не менее не исключено, что этот нежелательный космологический член сокращается с космологическим членом, генерируемым спонтанным нарушением суперсимметрии [21]. Или же, как полагает Хокинг, очень большая космологическая постоянная

может приводить к пенистой структуре пространства-времени. На расстояниях больше планковской длины пенистая структура была бы ненаблюдаемой и пространство-время выглядело бы приблизительно плоским. В то же время внутренняя симметрия была бы замаскированной и могла бы возникнуть более широкая приближенная эффективная симметрия. Как ни интересна эта точка зрения, трудно увидеть путь ее осуществления. В дальнейшем мы будем полагать, что различные вклады в космологическую постоянную сокращаются и она равна нулю.

Более обещающий в настоящее время подход основан на следующем наблюдении. -супергравитация (без калибровочной константы связи инвариантна не только относительно но также относительно глобальной (являющейся группой автоморфизмов алгебры суперсимметрии) и даже относительно глобальной причем Аналогичная ситуация была замечена ранее в и в Комплексные преобразования реализуются как киральные преобразования на спинорах и как преобразования дуальности на полях спина 1 (которые преобразуют электрические напряженности в магнитные и наоборот). Преобразования (некомпактной) группы не содержащиеся в ее (максимальной компактной) подгруппе реализуются нелинейно, причем 70 скалярных полей теории играют роль, аналогичную роли пиона в нелинейной динамике пионов.

Креммер и Жулиа [23,24] сформулировали эту ситуацию аналогично известным рассуждениям в СР-модели [25—27]. К 70 физическим скалярным полям они добавили 63 новых скаляра. Теория становится инвариантной относительно локальной группы (которая может быть использована для закрепления введенных скалярных степеней свободы) и глобальной некомпактной группы Обозначим через генератора и через дополнительных некомпактных генераторов Тогда 63 скаляра и 70 скаляров можно объединить в групповой элемент

(подразумевается суммирование по повторяющимся индексам). Глобальная реализуется на скалярах с помощью группового умножения справа, а локальная — групповым умножением слева. Ясно, что локальным -преобразованием можно привести (7) к виду с 70 скалярами:

(симметричная калибровка). Если теперь подействовать на (8) Е-преобразованием справа, то форма (8), вообще говоря, не

сохранится, но ее можно восстановить, действуя слева локальным -преобразованием с параметрами — функциями скаляров Поэтому результирующее преобразование на нелинейно, а на остальных полях фундаментального супермультиплета оно реализуется линейно по этим полям, но с параметрами, зависящими от Преобразования глобальной содержащейся в реализуются на полях линейно. Симметричная калибровка, в которой имеются только физические поля, удобна для описания физического спектра теории, однако общая формулировка обладает большей гибкостью и более полезна в лагранжевом подходе. По аналогии с СР-моделью Креммер и Жулиа ввели нераспространяющиеся калибровочные векторы чтобы сделать лагранжиан явно инвариантным относительно локальной группы Эти векторы не имеют кинетических членов, уравнения движения для них чисто алгебраические, что позволяет выразить их через остальные поля. Подставляя эти выражения в лагранжиан, мы получим теорию без калибровочных векторов с (неявной) -калибровочной инвариантностью. Однако, как ясно из приведенного обсуждения, эта калибровочная инвариантность искусственна: она обусловлена введением 63 чисто калибровочных скалярных степеней свободы С другой стороны, глобальные инвариантности являются истинными симметриями уравнений движения.

Аналогия с -моделью была развита Креммером и Жулиа еще дальше. В этой модели в двумерном пространстве-времени показывается с помощью -разложения, что нераспространяющееся -калибровочное поле становится динамическим, а его пропагатор получает полюс в Креммер и Жулиа предположили, что такое же явление может происходить и с -калибровочными полями. Иными словами, фундаментальные поля теории, функциями которых являются калибровочные векторы, связываются в частицы нулевой массы. Естественно предположить [28—30], что поля фундаментального супермультиплета -супергравитации, связываясь, образуют другой безмассовый супер мультиплет, содержащий поля со спином 1 в присоединенном представлении Точно так же как группа достаточно велика, чтобы включить в себя группу великого объединения, супер мультиплет связанных состояний достаточно велик, чтобы содержать все известные кварки, лептоны, векторы и скаляры.. Таким образом, все поля, рассматриваемые в настоящее время как элементарные, следует считать составными (ранняя попытка в этом направлении сделана в работе [31]).

В двумерной -модели в -разложении происходит и другое интересное явление. Векторное поле приобретя полюс в действует как связующая и запирающая сила

между фундаментальными скалярами модели. В результате спектр состоит из связанных состояний этих скаляров и обладает -симметрией [32], хотя фундаментальные скаляры принимают значения только в пространстве смежных классов

-супергравитации фундаментальные скаляры принимают значения в -мерном пространстве смежных классов

По аналогии можно ожидать, что связанные состояния образуют одно (или несколько) представлений Так как эта группа некомпактна, ее унитарные представления бесконечномерны, и следует ожидать, что связанные состояния образуют бесконечный супермультиплет с произвольно высокими спинами. Заметим, что нелинейно реализуется на конечном супермультиплете фундаментальных полей. Мы предполагаем здесь, что на связанных состояниях она реализуется линейным образом (эта возможность возникла в обсуждениях с У. Бардиным и

Э. Рабиновичем).

Можно вообразить себе следующую картину. При энергиях, сравнимых с планковской массой (или больших), точны суперсимметрия и локальная внутренняя группа (а также, возможно, Динамика определяется гравитационной постоянной При уменьшении энергий до массы великого объединения нарушаются все суперсимметрии, нарушается до группы великого объединения, скажем Это спонтанное нарушение симметрии характеризуется вакуумным средним некоторого скалярного поля. При энергиях порядка массы великого объединения взаимодействия определяются безразмерной константой связи играющей роль калибровочной константы связи Сама ТВО возникает как «низкоэнергетическая» эффективная теория, полученная из теории, явно инвариантной при энергиях порядка планковской массы. Тот факт, что эта калибровочная ТВО перенормируема, можно, по-видимому, понять с помощью «теоремы об отщеплении нулевых масс».

Эта теорема утверждает, что если в данной теории поля имеется большая масса (для определенности, скажем, и если часть полей или состояний остается безмассовой в пределе то эти состояния отщепляются в пределе от остальных состояний, а их эффективные взаимодействия перенормируемы (с точностью до неперенормируемых взаимодействий, обратно пропорциональных некоторой степени Теорема об отщеплении нулевых масс отвечает физической интуиции, она может быть доказана в предположении, что исходная теория является хорошо определенной перенормируемой теорией (например,

калибровочной теорией) и состояния с нулевой массой соответствуют некоторым полям исходной теории. По-видимому, эту теорему можно доказать также для связанных состояний с нулевой массой. Действительно, если бы их взаимодействия были перенормируемыми, то при вычислении вершинных функций возникали бы расходимости, единственным обрезанием которых может быть обратный размер связанных состояний, который, как мы ожидаем, равен Это привело бы либо к массам порядка либо к нарушению теории возмущений для связанных состояний (этот аргумент мы заимствовали у М. Велтмана). Мы хотим применить теорему к случаю, когда исходной теорией является -супергравитация, а состояния с нулевой массой составлены из фундаментальных полей (надо признаться, это смелая экстраполяция). Следствие теоремы об отщеплении нулевых масс состоит в том, что состояния с нулевой массой не могут иметь спин выше 1, так как иначе их взаимодействия были бы неперенормируемыми. По той же причине поля со спином 1 должны быть калибровочными, а поля со спином 1/2 должны образовывать набор, свободный от аномалий; скалярные поля могут оставаться в любом количестве. Все поля или состояния, не принадлежащие этому подмножеству с перенормируемыми взаимодействиями, должны исчезать в пределе получая очень большие массы (или, возможно, переставая взаимодействовать).