Б. Расширенная суперсимметрия и размерная редукция

а. Общие сведения

Рассмотрим -мерное пространство-время Минков-ского с одним временным и пространственными измерениями и метрикой Рассмотрим далее пуанкаре-инвариантную теорию в этом пространстве-времени, например скалярную -теорию

Чтобы сделать такую теорию осмысленной по крайней мере на классическом уровне, мы можем выбрать в качестве дополнительных пространственных измерений окружности с длинами Это предположение эквивалентно периодическим граничным условиям для поля

Теперь мы можем разложить в ряд Фурье:

где коэффициенты суть поля, зависящие только от первых четырех координат и удовлетворяющие условию вещественности Интегрируя в по дополнительным координатам от 0 до мы приходим к следующему результату:

где

и

Таким образом, эта теория в частично компактифицированном пространстве-времени содержит бесконечную последовательность частиц с возрастающими массами. В теории имеется сохраняющихся абелевых зарядов, принимающих целочисленные значения; масса частиц как функция этих значений дается формулой (Б.5). В случае такая формула была получена для частиц и солитонов суперсимметричной калибровочной теории [21—24]. Это наводит на мысль, что электрический и магнитный заряды можно рассматривать как квантованные пятую и шестую компоненты импульса в полной аналогии с исходной идеей Калузы и Клейна [25] для электрического заряда.

Размерная редукция состоит в устремлении к нулю при фиксированном Я- При этом только одно поле

сохраняет конечную массу, так что мы получаем обычную -теорию в четырех измерениях:

В данном случае редуцированная теория не сохраняет никаких следов своего происхождения. Фактически ее можно было бы получить, прямо полагая, что поле не зависит от дополнительных координат, т. е.

Менее тривиальный пример получится, если начать с действия для максвелловского поля в измерениях:

где

Перешагивая через промежуточный этап компактификации, мы сразу положим, что поле не зависит от и опустим интегрирование по Но теперь поле расщепляется на вектор и скаляров: Действие редуцированной теории имеет вид

В этом примере результирующая теория «помнит» сигнатуру (-мерной метрики: если бы какие-то из дополнительных измерений были времениподобными, то кинетические члены соответствующих имели бы неправильный знак. Пуанкаре-инвариантность исходной теории в измерениях нарушилась до инвариантности относительно произведения группы Пуанкаре в 4 измерениях и причем является синглетом образуют векторное представление Группа является инвариантностью редуцированной теории; компактифицированная теория инвариантна лишь относительно Группа возникает в пределе в котором остаются только поля, не зависящие от обеспечивая тем самым инвариантность относительно вращений в дополнительных измерениях.

Отметим, что, хотя как вектор, так и скаляры безмассовы, в теории отсутствуют преобразования, перепутывающие эти поля, поэтому (Б.9) нельзя рассматривать как единую теорию векторного и скалярных полей. Кроме того, это противоречило бы теореме Коулмена — Мандулы [26].

Действительно, нетривиальные примеры размерной редукции возникают в тех случаях, когда исходное действие инвариантно относительно простой суперсимметрии в -мерном пространстве-времени:

Здесь лоренцев индекс пробегает значения от 0 до — индексы дираковских матриц, удовлетворяющих -мерной алгебре Клиффорда:

Неприводимое представление этой алгебры состоит из матриц размерности существенно зависящей от размерности исходного пространства-времени (скобками обозначена целая часть

В большинстве теорий размерная редукция приводит к исчезновению в пределе 0; было бы интересно найти примеры, в которых некоторые из не исчезают и становятся центральными зарядами. Для простоты мы будем полагать далее, что равны нулю.

Представление клиффордовой алгебры всегда можно построить в виде тензорного произведения дираковских матриц или 1) и -матриц «внутренней симметрии» так, что для

Дираковский индекс а становится парой из обычного дираковского индекса а и индекса внутренней симметрии После размерной редукции мы получаем из алгебру расширенной суперсимметрии:

Результирующая редуцированная теория инвариантна относительно группы и М суперсимметрий, где М равно с точностью до множителя 1/2 (в зависимости от того, какие условия были наложены на в исходном пространстве-времени). Число М обычно определяют как число майорановских спиноров в 4 измерениях, поэтому для нахождения ранга расширенной суперсимметрии М следует подробно обсудить задачу определения майорановских и вейлевских спиноров в измерениях.