3. Теория калибровочного поля Янга — Миллса: основные понятия и формулы

Алгебры Ли. Представление алгебры Ли — это множество антиэрмитовых бесследовых матриц Та, удовлетворяющих уравнениям

где — (действительные) структурные константы некоторой компактной группы Ли С. Представление Т всегда можно выбрать так, чтобы след был пропорционален хотя коэффициент пропорциональности может зависеть от представления. Картановское скалярное произведение определяется следующим образом:

таким образом, оно пропорционально следу произведения матриц Т и

Калибровочные поля. Основные объекты калибровочной теории — это янг-миллсовские калибровочные потенциалы. Калибровочные потенциалы представляют собой множество векторных полей (где ). Матричнозначное векторное поле определяют следующим образом:

где — постоянная, называемая калибровочной константой связи. Из матричнозначных калибровочных потенциалов строится матричнозначное калибровочное поле напряженностей

Как так и являются антиэрмитовыми бесследовыми матрицами. В явной компонентной форме где

Для нас будут полезны как матричная, так и явная компонентная формы калибровочного потенциала и поля напряженностей.

Мы будем применять выражение «статические калибровочные поля» для калибровочных потенциалов, которые не зависят от

СТАТИЧЕСКИЕ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ: .

Слово «статические» используется потому, что х можно рассматривать как временную координату, а как простравственные

ственные координаты в полном четырехмерном пространстве

Функционалы действия и энергии. Для калибровочных потенциалов, зависящих от всех четырех евклидовых координат мы определим функционал действия

Для статических калибровочных полей, которые не зависят от мы определим функционал энергии

Калибровочное преобразование. Как функционал действия так и функционал энергии Е инварианты относительно следующих преобразований, называемых калибровочными:

где произвольных действительных функций. Если обращаются в нуль, то есть калибровочное преобразование нуля, иными словами, «чистая калибровка».

для некоторого

При действии калибровочного преобразования (3.9) объект преобразуется не так просто, как объект Их, Поэтому определяется «ковариант-ная» производная

так что коммутатор ведет себя просто при калибровочных преобразованиях.

Уравнения движения Янга — Миллса. Физика калибровочных полей определяется функционалами действия и энергии Е. Когда к калибровочной теории применяют принципы квантовой механики, кажется, что задачу невозможно решить точно, поэтому прибегают к различным приближенным схемам. В очень важной приближенной схеме, называемой квазиклассической аппроксимацией, обнаруживается, что важные физические конфигурации определяются локальными минимумами функционалов действия S и энергии Е. Таким образом, в контексте квазиклассической аппроксимации проводится изучение калибровочных полевых конфигураций, которые локально минимизируют S и Е.

Экстремумы (не обязательно минимумы!) действия и энергии Е находятся стандартными вариационными вычислениями, которые приводят к следующим уравнениям Эйлера — Лагранжа:

или в явной компонентной форме

В калибровочной теории уравнения (3.12) и (3.13) называют уравнениями движения Янга—Миллса. Они являются связанными нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных для калибровочного потенциала кажется невероятным, что они могут быть решены точно. Даже если можно найти решения уравнения (3.12), нужно проверить, что они действительно соответствуют локальным минимумам а Е, а не локальным максимумам в функциональном пространстве — проблема, которая сама по себе является достаточно трудной.

Инстантоны и монополи. За последние пять лет было сделано замечательное открытие, которое заключается в следующем:

Для данных граничных условий, определяемых топологическим зарядом, который принимает целые значения, инстантоны и монополи доставляют абсолютные минимумы функционалам действия и энергии Е соответственно.

Приведенное выше утверждение неявно предполагает, что и Е конечны. Топологический заряд разбивает калибровочный потенциал на классы по его поведению на бесконечности (в евклидовом пространстве) таким образом, что никакая непрерывная деформация калибровочного потенциала не может изменить В математике такие классы известны как гомотопические.

Тождество Бьянки. Рассмотрим тождество Якоби для ковариантной производной

Теперь калибровочное поле может быть записано в виде

Умножение тождества Якоби (3.14) на полностью антисимметричный тензор дает

Тензор является дуальным к тензору калибровочного поля В калибровочной теории тождество (3.16) называют тождеством Бьянки.

Автодуальность. Сравнивая тождество (3.16) с уравнением движения Янга — Миллса (3.12), мы видим, что любое калибровочное поле, являющееся автодуальным

автоматически удовлетворяет уравнению (3.12). Уравнение (3.17) является нелинейным уравнением в частных производных первого порядка для калибровочного потенциала поэтому оно много проще, чем уравнение (3.12), которое имеет второй порядок. Мы увидим, что как инстантоны, так и монополи являются решениями уравнения (3.17).

Выбор калибровочной группы До сих пор мы не уточняли (ради общности), какова компактная группа Ли Чтобы избежать ненужных усложнений, ниже мы будем рассматривать простейшую группу Ли, а именно Существенные особенности инстантонов и монополей лучше всего проявляются в калибровочной теории Конечно, можно систематически обобщать результаты калибровочной теории на калибровочную теорию любой компактной группы Ли

Для калибровочной теории структурные константы образуют трехвалентный полностью антисимметричный постоянный тензор

Мы будем использовать представление матрицами второго порядка антиэрмитовых бесследовых матриц Та:

где — матрицы Паули:

Матрицы Паули удовлетворяют следующему уравнению:

Картаново скалярное произведение для представления (3.19) равно: