Лекция 3. Суперсимметричная калибровочная теория

Теперь мы применим методы дифференциальной геометрии к суперпространству. Для того чтобы сделать суперсимметрию более явной, используем для определения плоского пространства обобщенные величины введенные в первой лекции. Структурной группой опять является группа Ли, действующая на -формах:

Матрицы — генераторы группы

Форма связности

принимает значения в алгебре Ли, т. е.

Эти суперполя суть обобщения янг-миллсовских потенциалов. В соответствии с общими правилами можно написать их закон преобразования

Первое структурное уравнение определяет ковариантную производную, скажем, -формы а:

Это означает, что выражение

снова преобразуется по линейному представлению. Более того, вследствие нашего выбора тетрады есть суперполе, если а — суперполе.

Второе структурное уравнение показывает, как строить тензорные величины из янг-миллсовских потенциалов. Вычислив это выражение:

получаем для формулу

В этом выражении содержатся следующие тензорные величины, используемые для конструирования ковариантных (лоренц-ко-вариантных, суперсимметричных, калибровочно ковариантных)

уравнений:

Мы хотим теперь наложить такую совокупность ковариантных связей, которая бы значительно уменьшила число независимых полей, содержащихся в суперполе не налагая ограничений на их зависимость от координат

Абелев случай

В качестве первого примера я рассматриваю абелев случай. Если мы наложим связь

та получим, что существуют такие суперполя что

Потенциалы определены с точностью только до скалярного суперполя: замена где не меняет то же самое верно для замены

Следовательно, под действием калибровочных преобразований потенциалы преобразуются следующим образом:

Это дает нужные преобразования

Если мы дополнительно потребуем выполнения уравнения —

то можно выразить через :

при калибровочных преобразованиях эти поля преобразуются следующим образом:

Таким образом, нам удалось выразить суперполе через поля . Величины тоже суть функции от ; мы не можем наложить дальнейшие связи, не ограничив зависимость компонент полей от х (т. е. не написав уравнения поля). Все инварианты могут быть выражены через

Из определения следует

Величина очень похожа на калибровочно инвариантное суперполе нашей первой лекции, за исключением того, что не удовлетворяют никакому условию вещественности. В калибровочно инвариантные выражения входит только . Причина этого состоит в том, что зависит от калибровки и может быть полностью убрана выбором последней:

Может показаться, что условие вещественности естественно выбрать в виде (одно вещественное векторное поле). Но это ведет к соотношению и сводит калибровочные преобразования к «подгруппе» Поэтому если мы хотим иметь калибровочную инвариантность с такой группой, что то условие слишком сильное. Мы можем ослабить это условие, потребовав, чтобы с точностью до калибровочных преобразований. Это дает и калибровочная группа ограничена только условием Если мы выберем калибровку с то останется подгруппа которая будет калибровочной группой.

Потенциал оставшийся в качестве независимого поля, преобразуется по формуле Кроме того, Таким образом, калибровочная теория свелась в точности

ности к той теории, которая была введена в первой лекции. Соответствующий лагранжиан имеет вид

Прежде чем переходить к неабелеву случаю, я хочу продемонстрировать, как можно прийти к тому же результату, используя тождества Бьянки. В нашем случае тождество Бьянки

означает, что

или в компонентах

Если ввести требование то из (8) и (9) находим

где калибровочно инвариантны. Из (6) следует, что

а также

Как мы уже знаем, все калибровочно инвариантные величины могут быть выражены через Из (4), (5) получаем

Отсюда следует, что ограничения на в точности такие же, какие были получены выше из прямого решения.

Неабелев случай

Потребуем выполнения тех же условий, что и в абелевом случае:

Из равенства т. е.

получаем

а из равенства находим

Нужный закон преобразования при калибровочных преобразованиях получится, если положить

Отсюда можно получить правила преобразования для

Из следует, что поле также может быть выражено через

Тензорные величины суть функции от . Они могут быть выражены через два инварианта Это сразу следует из тождеств. Кроме того, из тождеств следует также, что

Производные — это полные ковариантные производные, определенные из первого структурного уравнения.

Поскольку калибровочно инвариантен, то

поэтому могут быть использованы для построения суперсимметричных калибровочно инвариантных лагранжианов. Остается ввести условие вещественности, связывающее которое сужает калибровочную группу до

подгруппы скалярных суперполей Этого снова можно добиться, потребовав, чтобы было эрмитовым с точностью до калибровочных преобразований, а также таким закреплением калибровки, при котором В такой калибровке инвариант принимает значение

Таким образом, мы вывели неабелеву суперсимметричную теорию из общего формализма. Этот метод может быть применен к расширенной суперсимметрии; одно его приложение описано в готовящейся статье Р. Гримма, М. Сониуса и автора.