6. Явные инстантонные решения

Данный раздел подразделяется на четыре подраздела. В первом подразделе мы вводим тензоры т’Офта вместе с различными тождествами, которым они удовлетворяют. Тензоры и особенно полезны для построения явных инстантонных решений. Далее мы представляем исходное инстантонное решение Белавина — Полякова — Шварца — Тюпкина для и обсуждаем различные его особенности. В третьем подразделе мы объясняем анзац Корригана — Фэрли — т’Офта — Вилчека приводящий к инстантонным решениям для произвольного целого Здесь же мы описываем различные свойства решения т’Офта, в частности почему оно не является полным решением. Последний подраздел посвящен конструкции Атьи — Дринфельда — Хитчина — Манина (АДХМ), которая дает полные инстантонные решения для произвольного

6.1. Тензоры т’Офта

Определим следующие четыре вектора:

где единичная матрица второго порядка, а — матрицы Паули (3.20). Используя уравнение (3.21), мы находим

Тензоры т’Офта мы определим следующим образом:

Существенное свойство тензоров и вытекающее из уравнения (3.21), заключается в том, что они авто- и антиавтодуальны соответственно:

Тензоры и являются антиэрмитовыми бесследовыми матрицами второго порядка и, таким образом, могут быть записаны как линейные комбинации матриц Паули

где тензоры имеют только действительные компоненты. Используя уравнение получил ряд очень полезных тождеств, которым подчиняются Вот некоторые из них

Любой антисимметричный тензор может быть записан как сумма автодуальной и антиавтодуальной частей:

где

Комбинации могут быть также записаны следующим образом:

Равенство (6.1.23) определяет проектор на автодуальную и антиавтодуальную части. Из равенств (6.1.13) и (6.1.14) следует

Если тензор Т является автодуальным, то

Умножая равенство (6.1.25) на и используя равенство (6.1.10), получаем

6.2. Исходное инстантонное решение Белавина — Полякова — Шварца — Тюпкина для q = 1

Инстантонное решение БПШТ для представляется следующим образом:

где — пять свободных параметров, связанных с положением и масштабом инстантона соответственно. Используя равенство (6.1.17), калибровочное поле для (6.2.1) можно записать в виде

в силу (6.1.5) оно, очевидно, является автодуальным. Функционал действия для поля (6.2.2) легко вычислить и представить в виде

Таким образом, мы имеем явную реализацию инстантонного решения для зависящую от пяти параметров. Действительно, с помощью теории деформации можно показать, что если существует -инстантонное решение стопологическим зарядом то плотность действия (т. е. должна зависеть по крайней мере от параметров: параметров определяют положение и масштаб каждого одиночного -инстан-тона, набираются из трехпараметрической калибровочной -ориентации для каждого из инстантонов, а глобальные калибровочные -преобразования являются несущественными, поэтому вычитается 3. Эти параметров являются по существу «степенями свободы» инстантонных решений.

6.3. Анзац Корригана — Фэрли - т’Офта - Вилчека (КФТВ) и решение т’Офта

Анзац КФТВ дается в следующем виде:

где Ф — произвольная функция Используя равенство (6.1.17), калибровочное поле для (6.3.1) можно записать в виде

На этом этапе далеко не очевидно, как поле (6.3.2) может быть автодуальным по индексам и Требование автодуальности поля (6.3.2) в силу (6.1.26) равносильно требованию

Если использовать равенство (6.1.16), то требование (6.3.3) сводится к простому уравнению для Ф

Таким образом, если Ф удовлетворяет уравнению (6.3.4), то гарантируется автодуальность калибровочного поля (6.3.2). т’Офт выбрал следующее решение уравнения (6.3.4):

Решение (6.3.5) определено только при При функция Ф становится сингулярной:

Но особенность (6.3.6) является чисто калибровочным артефактом! Чтобы убедиться в этом, вычислим калибровочный потенциал (6.3.1) в матричной форме вблизи особенности (6.3.6):

где

Сравнивая (6.3.8) с (3.10), мы видим, что обращается в нуль в особой точке (6.3.6), таким образом, эта особенность является чисто калибровочным артефактом, не отражающим никакой физической реальности. Используя уравнение (6.3.4), плотность действия можно привести к следующему виду:

Подставляя (6.3.5) в (6.3.10), интегрируя по 4-мерному евклидову пространству и исключая особые точки (6.3.6) из области интегрирования, чтобы можно было применить теорему Гаусса, получим функционал действия

Таким образом, мы имеем явную реализацию инстантонов для произвольного Из равенств (6.3.10) и (6.3.5) очевидно, что плотность действия зависит только от параметров, которые можно интерпретировать как параметры положения и масштаба для каждого отдельного -инстантона. Так как число параметров меньше чем , решение т’Офта не может быть полным инстантонным решением. Полное инстантонное решение реализуется в конструкции Атьи — Дринфельда — Хитчина— Манина (АДХМ), которую мы опишем ниже.

6.4. Конструкция Атьи — Дринфельда — Хитчина — Манина {АДХМ)

Конструкция АДХМ начинается с прямоугольной матрицы порядка составленной из кватернионов. Это значит, что элемент матрицы М может быть записан в виде матрицы второго порядка

Здесь — действительные числа. Матрица М выбирается линейно зависящей от х

где

Наконец, предполагается, что удовлетворяет нелинейному требованию

Чтобы построить автодуальное калибровочное поле, необходимо найти -мерный вектор-столбец такой, что

Линейное уравнение (6.4.7) может рассматриваться как кватернионных условий на элемент Таким образом, решение уравнения (6.4.7) всегда может быть найдено, а требование (6.4.8) просто фиксирует его нормировку.

Калибровочный потенциал в конструкции АДХМ определяется следующим образом:

Дифференцирование равенства (6.4.8)

показывает, что в равенстве (6.4.9) является антиэрмитовой бесследовой матрицей второго порядка.

Покажем теперь, что калибровочное поле построенное по калибровочному потенциалу (6.4.9), является явно автодуальным

В равенстве — единичная матрица порядка. Выражение в фигурных скобках в (6.4.13) является просто проекционным оператором на -мерное кватернионное подпространство, ортогональное Используя уравнения (6.4.7) и (6.4.5), это выражение можно записать в виде матрицы порядка:

где — матрица порядка, обратная действительной матрице

Дифференцирование уравнения (6.4.7) дает

так что можно записать в виде

т. e. в силу (6.1.5) калибровочное поле явно автодуально. Переходя от равенства (6.4.17) к равенству (6.4.18), мы использовали тот факт, что является действительной матрицей, коммутирующей с

Конструкция АДХМ дает полное -параметрическое инстантонное решение с действием Доказать это довольно сложно, и мы даем читателю ссылки на литературу для более подробного ознакомления.