5. Точное определение монополей

Для монополей калибровочные поля являются статическими, в смысле равенства (3.6). В случае монополей полезно работать с компонентами калибровочного потенциала и напряженностей. Если ввести два векторных поля и определяемых следующим образом :

то функционал энергии принимает вид

Знак равенства в (5.5) достигается только тогда, когда . Последнее равенство является в точности уравнением автодуальности Для статических калибровочных полей.

Подынтегральное выражение в (5.5) может быть приведено к следующему виду:

Второе тождество в (5.6) следует из статического случая тождества Бьянки (равенство (3.16)).

Тождество (5.6) позволяет преобразовать интеграл в (5.5) в поверхностный интеграл с помощью теоремы Гаусса

где интеграл в правой части берется по сфере

Используя теорему Гаусса, мы неявно предполагаем функционал энергии Е конечным. Это в свою очередь означает, что

при

Здесь мы использовали равенства (3.10); — любая унитарная матрица второго порядка с определителем, равным единице. Умножая равенство (5.10) на и используя антисимметричность тензора , получаем так что

Конкретная комбинация констант в равенстве (5.11), где -калибровочная константа связи, выбирается из соображений дальнейшего удобства. Используя (5.11), можно разрешить равенство (5.10) относительно

Подстановка равенства (5.12) в (5.2) дает при используя (5.11), мы находим

Сфера может быть параметризована двумя параметрами Используя равенства (2.13) и (2.15) при получаем элемент площади в виде

так что равенство (5.7) принимает вид

При выводе равенства (5.15) мы использовали обращение теоремы Гаусса

Легко проверить, что подынтегральное выражение в правой части равенства (5.15) удовлетворяет следующему тождеству:

Следовательно, мы имеем

так как, в то время как точка пробегает по сфере один раз, вектор пробегает единичную сферу раз, давая каждый раз вклад в виде трехмерного телесного угла

Таким образом, используя равенства (5.5) и (5.18), мы устанавливаем следующее неравенство для функционала энергии Е:

Равенство достигается только для статических автодуальных полей Топологический заряд в случае монополей называется магнитным зарядом. Неравенство (5.19) показывает, что для любого данного статические автодуальные калибровочные поля доставляют абсолютный минимум функционалу энергии Е.

Вопрос о том, достижимо ли равенство представляет собой динамическую, а не топологическую проблему и требует построения явных решений уравнений автодуальности а для нетривиальных решений с Решение для магнитного заряда было дано Прасадом и Зоммерфельдом. До сих пор никому не удалось построить явные монопольные решения для магнитного заряда в действительности не известно, существуют ли вообще такие решения. Мощные методы дифференциальной и алгебраической геометрии, такие полезные для инстантонов, кажутся неприменимыми к монополям. В разд. 7 дается монопольное решение для а в разд. 8 обсуждаются попытки построения многомонопольных решений для