2. Тепловые свойства

Статистическая сумма, или производящий функционал, для теплового канонического ансамбля в случае скалярного

поля в плоском пространстве-времени при температуре определяется как

где — полный ортонормированный базис состояний для поля Статистическую сумму можно представить и в виде континуального интеграла

который берется по всем конфигурациям поля вещественным в евклидовом пространстве. и периодическим с периодом по евклидовой координате времени (т. е. периодическим по мнимому времени Минковского). Аналогичное представление статистическая сумма допускает и для бозонных полей с высшими спинами, но в случае полей с калибровочными степенями свободы, чтобы исключить нефизические степени свободы, необходимо включить духи Фаддеева — Попова. В аналогичном виде можно представить и статистическую сумму для фермионных полей, хотя в этом случае поля должны быть антипериодическими, т. е. изменять знак на обратный всякий раз, когда евклидова координата времени получает приращение

Было бы естественно определить аналогичным образом и статистическую сумму для теплового канонического ансамбля в случае гравитации.

Бесконечный объем тепловых гравитонов с бесконечной массой приводит к возникновению инфракрасных расходимостей. Чтобы избежать их, заключим систему, например, в сферический ящик радиуса с идеально отражающими стенками. Разумеется, такая изоляция нефизична: невозможно изготовить жесткий ящик с идеально отражающими стенками для электромагнитного излучения, не говоря уже о гравитационном излучении. «Создание» такого ящика приводит к трудностям вблизи стенок, но я пока не буду обращать на них внимание.. Мировая трубка сферического ящика, факторизованного с периодом по евклидовой координате времени, определяет трехмерное многообразие с топологией и положительно определенной метрикой — произведением стандартной метрики 2-сферы радиуса и одномерной метрики на окружности длины Статистическая сумма для гравитационного поля при температуре в сферическом ящике задается континуальным интегралом по всем метрикам на всех многообразиях М, имеющих своей границей и индуцирующих на метрику

Можно ожидать или по крайней мере надеяться, что главный вклад в континуальный интеграл будут давать метрики, достаточно близкие к основной метрике экстремизирующей

действие, т. е. дающей решение классических полевых уравнений с заданными граничными условиями.

Действие можно разложить в ряд Тейлора относительно основной метрики

где а член квадратичен по возмущениям Тогда

Первый член можно рассматривать как вклад в основной метрики, а второй, «однопетлевой», член — как вклад тепловых гравитонов на фоне основной метрики. Меру для однопетлевого члена можно представить в виде

где нормировочная величина, или регуляризатор, а — коэффициенты в разложении возмущения по собственным функциям эллиптического оператора второго порядка А, определяющего т. е.

где

Формально однопетлевой член определяется следующим образом

где В — оператор, фиксирующий калибровку, оператор духов. Число собственных значений оператора такого типа допускает асимптотическое разложение

Коэффициент пропорционален произведению 4-объема фоновой метрики и числа компонент поля, на которое действует оператор. Коэффициенты при старших членах представляют собой полиномы по метрике, кривизне и ковариантным производным кривизны (эти полиномы имеют степень по производным метрики). Следовательно, однопетлевой член сильно

расходится. Различные схемы регуляризации по существу сводятся к делению на распределение собственных значений, порождаемое членами Однако в общем случае, за исключением плоского пространства и нескольких других специальных основных метрик, полный член отличен от нуля. Это означает, что существует конечное (не обязательно целое) число дополнительных собственных значений, размерность которых не сокращается. Так как каждое дополнительное собственное значение имеет размерность то его следует разделить на нормирующую величину Следовательно, однопетлевой член зависит от От этой зависимости нельзя избавиться путем переопределения константы связи в исходном действии, но так как она пропорциональна эйлеровой характеристике то ее можно включить в топологический член , где — топологическая константа связи, зависящая от масштаба. Ниже я еще вернусь к этому вопросу.

Одна из фоновых метрик, удовлетворяющая граничным условиям для канонического ансамбля, — это плоская метрика на евклидовом пространстве, профакторизованном по некоторому периоду, т. е. на многообразии М с топологией При подходящем выборе константы С действие для этой фоновой метрики равно нулю и поэтому не дает вклада в Однопетлевой член, соответствующий квадратичным флуктуациям относительно основной метрики плоского пространства, приводит к стандартному результату для теплового излучения с двумя состояниями спиральности

Его можно интерпретировать как статистическую сумму тепловых гравитонов в плоском пространстве. Многопетлевые члены, если бы они имели смысл, что сомнительно, описывали бы эффекты взаимодействия между этими гравитонами.

Метрика Шварцшильда представляет собой еще одно решение, удовлетворяющее заданйым граничным условиям. Эту метрику обычно записывают в виде

Полагая преобразуем ее в положительно определенную метрику при При она имеет кажущуюся особенность, аналогичную кажущейся особенности начале полярных координат, в чем нетрудно убедиться, если ввести новую радиальную координату В Новых переменных метрика имеет вид

Она регулярна в точке если считать угловой переменной, значения которой факторизованы с периодом использую единицы, в которых Многообразие, задаваемое неравенствами называется евклидовым сечением решения Шварцшильда. Метрика на нем положительно определенная, асимптотически плоская и несингулярная (особая точка кривизны при не принадлежит евклидову сечению).

Метрика Шварцшильда удовлетворяет граничным условиям, если

Так как для метрики Шварцшильда, то действие определяется только поверхностным членом, что дает [3]

Следовательно, фоновая метрика Шварцшильда вносит в вклад, равный По определению

где — энергия состояния гравитационного поля. Таким образом,

Подставляя вклад от действия фоновой метрики Шварцшильда, получаем

Именно такого результата и следовало ожидать. Можно вычислить также энтропию, определяемую соотношением

где — вероятность того, что гравитационное поле находится в состоянии. Применительно к фоновой метрике Шварцшильда это дает

где А — площадь горизонта событий. Это соотношение между внутренней гравитационной энтропией и площадью горизонта еобытий носит весьма общий характер. обусловлено комбинацией дричин; того, что гравитационное действие

масштабно неинвариантно (чем и обусловлена его неперенормируемость), и того факта, что евклидово сечение решения Шварцшильда обладает топологией отличающейся от топологии плоского пространства, факторизованного с периодом Соотношение не имеет аналогов в квантовой хромодинамике или других теориях с низшими спинами.

Однопетлевой член содержит слагаемое, зависящее от вида

где эйлерова характеристика евклидова сечения решения Шварцшильда. Это слагаемое обусловлено

дополнительными собственными значениями, размерности которых не сокращаются при регуляризации. Из этих дополнительных собственных значений три равны нулю и соответствуют трансляционным движениям черной дыры внутри ящика. Они дают вклад равный С другой стороны, нерелятивистская частица с массой М в ящике объемом V при температуре имела бы статистическую сумму, пропорциональную Чтобы воспроизвести этот результат, нормирующую величину видимо, следует выбрать пропорциональной

Собственные функции оператора можно подразделить на два класса [4]. Во-первых, существуют собственные функции, соответствующие возмущениям метрики пропорциональным фоновой метрике Они описывают конформные возмущения. Для возмущений в окрестности плоского пространства или любой метрики с все собственные значения отрицательны. Следовательно, контур интегрирования конформного множителя необходимо повернуть так, чтобы он расположился параллельно мнимой оси. Остальные собственные функции имеют нулевой след и соответствуют неконформным возмущениям метрики. На плоском пространстве они все положительны, поэтому можно взять за правило интегрировать по вещественным классам конформной эквивалентности метрик. Но для возмущений относительно фоновой метрики Шварцшильда одно из неконформных собственных значений отрицательно [6]. В однопетлевой член это собственное значение входит под знаком квадратного корня, что приводит к появлению в статистической сумме множителя так что становится чисто мнимой. Какой-то неприятности подобного рода от следовало ожидать, так как канонический ансамбль для гравитации разрушается из-за того, что гравитационное взаимодействие универсально притягивающее,

Один из способов выразить это состоит в том, чтобы представить в виде преобразования Лапласа плотности состояний где число состояний гравитационного поля в ящике с энергией между Е и

Плотность состояний при этом задается обратным преобразованием Лапласа:

Но если вместо подставить значение

обусловленное действием фоновой метрики, то интеграл не будет сходиться. Чтобы интеграл сходился, контур интегрирования по в (2.20) необходимо повернуть от мнимой оси. Поскольку статистическая сумма — величина чисто мнимая, плотность состояний как и следовало ожидать, вещественна, так как микроканонический ансамбль для гравитации вполне определен: черная дыра в ящике может находиться в устойчивом равновесии с тепловым излучением, если фиксирована полная энергия в ящике, но она будет находиться в неустойчивом равновесии, если фиксирована температура ящика, потому что черные дыры обладают отрицательной теплоемкостью [7].

Можно также рассматривать ансамбли, в которых помимо температуры имеются химические потенциалы для углового момента относительно той или иной оси и электрический заряд. Статистическая сумма в таких ансамблях определяется континуальным интегралом, взятым по всем полям, принимающим одни и те же значения в точках на некоторой граничной поверхности в калибровке где угловая скорость, электростатический потенциал. Следуя евклидову подходу, и необходимо выбирать мнимыми, а затем продолжать аналитически статистическую сумму до вещественных значений и

Метрика со стационарной фазой в континуальном интеграле для статистической суммы будет евклидовым пространством с точками, профакторизованными с некоторым периодом во вращающейся системе координат, либо евклидовым сечением решения Керра — Ньюмена с мнимым угловым моментом и мнимым электрическим зарядом (в евклидовом режиме мнимый электрический заряд, порождает вещественное поле Такой

же подход, как к решению Шварцшильда, показывает, что решение Керра — Ньюмена также обладает специфической квантовой гравитационной энтропией, которая равна одной четвертой площади горизонта событий.