I. Евклидова квантовая теория гравитации

С. У. Хокинг

Hawking S. W. — in: Recent developments in gravitation,

Carges, 1978

1. Введение

В этих лекциях я намереваюсь описать подход к квантовой теории гравитации, использующий континуальные интегралы в евклидовом режиме, т. е. по положительно определенным метрикам. (Строго говоря, термин «риманов режим» был бы более подходящим, но эпитет «риманов» порождает нежелательные ассоциации.) Обоснованием для выбора такого режима служит убеждение в том, что в квантовой теории существенную роль играют топологические свойства гравитационных полей. Попытки квантования гравитации без учета топологических возможностей, простым построением диаграмм Фейнмана, соответствующих возмущениям в окрестности плоского пространства, не увенчались особым успехом: оказалось, что при таком подходе возникает бесконечная последовательность неопределенных параметров перенормировки. Более благоприятная ситуация складывается в теориях супергравитации: неопределенные параметры перенормировки возникают как будто только в трехпетлевом и старших членах разложения вблизи плоского пространства, но, как я покажу ниже, возмущения топологически нетривиальных метрик приводят к появлению неопределенных параметров даже на уровне однопетлевых членов [1, 27].

Мне кажется, что причина неудач кроется не в самих теориях чистой гравитации или супергравитации, а в некритическом применении к ним теории возмущений. В классической общей теории относительности мы обнаружили, что теория возмущений применима лишь в ограниченных пределах. Черную дыру невозможно описать как возмущение в окрестности плоского пространства. Между тем построение цепочки диаграмм Фейнмана эквивалентно именно такому описанию. На техническом уровне первопричину неприменимости теории возмущений можно усмотреть в том, что «свободная» квадратичная часть действия в общей теории относительности в отличие от теории Янга — Миллса или квантовой электродинамики не ограничивает старшие члены, описывающие «взаимодействие». Свободное

действие налагало бы ограничения на такие члены, если бы в действие были введены дополнительные члены, квадратичные по кривизне. Но такого рода добавки изменяют сущность теории и приводят к уравнениям четвертого порядка, тахионам и «духам», хотя, как я покажу, их можно использовать в качестве членов, задающих конформную калибровку.

Должен признаться, что у меня нет готового ответа на вопрос о причинах неприменимости разложения по теории возмущений. Однако, подобно человеку, пытающемуся найти ключ под уличным фонарем только потому, что это — единственное место, где имеется хоть какой-то шанс найти его, я полагаю, что если ответ существует, то он должен быть связан с топологической структурой гравитационного поля. Я выбираю подход, основанный на использовании континуальных интегралов, так как считаю его единственным подходом, пригодным для решения топологических вопросов. Чтобы взять континуальные интегралы для негравитационных полей в плоском пространстве-времени, обычно ось времени подвергают повороту Вика, заменяя на При этом пространство Минковского с лоренцевой метрикой (сигнатура переходит в евклидово пространство (сигнатура Такое преобразование принято производить, в частности, потому, что оно улучшает сходимость континуального интеграла. Например, для скалярного поля континуальный интеграл в пространстве Минковского имеет вид

где - мера на пространстве всех конфигураций поля — действие поля Для вещественных полей на вещественном пространстве Минковского этот интеграл осциллирует и не сходится. Но если выполнить поворот Вика в евклидово пространство, то континуальный интеграл переходит в интеграл

где — «евклидово» действие поля вещественное для полей вещественных на евклидовом сечении комплексифицированного пространства-времени. Так как действие обычно положительно определено, сходимость континуального интеграла от всех таких полей улучшится. Продолжив аналитически выражение для него, можно вернуться в пространство Минковского. Это аналитическое продолжение автоматически включает понятия положительной частоты и хронологического упорядочения. Например, пропагатор Фейнмана

обладает положительной частотой по т. е. голоморфен в нижней полуплоскости, при и отрицательной

частотой, т. е. голоморфен в верхней полуплоскости, при Следовательно, этот пропагатор голоморфен на евклидовом пространстве, которое получается при повороте оси времени на 90° по часовой стрелке в комплексной плоскости. Можно даже принять точку зрения, согласно которой квантовая теория (а в действительности вся физика) реально определена в евклидовой области и лишь особенности нашего восприятия приводят нас к ее интерпретации в лоренцевом режиме.

Я считаю, что аналогичный евклидов подход следует принять в квантовой теории гравитации и в супергравитации. Разумеется, недостаточно просто заменить координаты времени мнимыми величинами, так как в общей теории относительности не существует выделенной системы координат времени. Я думаю, что вместо этого континуальные интегралы следует брать по всем положительно определенным метрикам, большинство из которых не допускает сечения с вещественной и лоренцевой метрикой, а затем в случае необходимости переходить к аналитическим продолжениям получившихся континуальных интегралов. Чтобы ограничить континуальный интеграл положительно определенными метриками и исключить интегрирование по метрикам с лоренцевой или ультрагиперболической сигнатурой, по-видимому, следует интегрировать не по компонентам метрики а по компонентам тетрады еат. Последнюю можно рассматривать как квадратный корень из метрики:

Пространственно-временные индексы поднимаются и опускаются с помощью метрики а тетрадные индексы поднимаются и опускаются с помощью евклидовой метрики поэтому группой вращений тетрад служит не обычно используемая группа Лоренца , а группа

Метрика заданная соотношением (1.4), при произвольных вещестзенных положительно полуопределена и вырождается, если . Я считаю, что такие вырожденные метрики необходимо включать в континуальный интеграл. Именно они позволяют совершить непрерывный переход от одной топологии пространства-времени к другой. Ниже я еще вернусь к этому вопросу.

Тетрады существенны и при рассмотрении фермионных полей. Я буду использовать двухкомпонентные спиноры, но в положительно определенной, а не в обычной лоренцевой метрике. В лоренцевом случае мы имеем спиноры без штрихов, преобразующиеся по группе , и спиноры со штрихами, преобразующиеся по комплексно-сопряженной группе . Операция комплексного сопряжения превращает нештрихованные

спиноры в штрихованные и наоборот, так что штрихованный спинор. При аналитическом продолжении на положительно определенную метрику спиноры со штрихами и без штрихов преобразуются по независимым группам и Операция комплексного сопряжения теперь переводит спиноры без штрихов в спиноры без штрихов, спиноры со штрихами в спиноры со штрихами и либо повышает индекс, либо опускает индекс и меняет знак. Величины, комплексно-сопряженные в лоренцевом случае, например спиноры Вейля аналитически продолжаются в евклидову область как независимые поля и Это позволяет иметь метрику, в которой , но Такая метрика конформно автодуальна, т. e. Если спинор Риччи и скаляр кривизны А также равны нулю, то метрика автодуальна:

В лоренцевой метрике 4-спинор Дирака можно представить в виде вектора-столбца из двух двухкомпонентных спиноров:

Сопряженному полю в этом представлении соответствует вектор-строка:

При переходе в евклидово пространство 4-спинор и сопряженный ему 4-спинор становятся независимыми полями которые описываются четырьмя независимыми двухкомпонентными спинорами В лоренцевом пространстве 4-спинор Майораны можно представить вектором-столбцом:

При переходе в евклидову область спинору Майораны соответствуют два независимых двухкомпонентных спинора Таким образом, вопреки довольно распространенному утверждению со спинорами Майораны можно работать и в евклидовом режиме.

Действие для гравитационного поля обычно выбирают в виде

Я буду использовать единицы, в которых При выполнении поворота Вика в евклидову область элемент объема

переходит в Следовательно, евклидово действие будет иметь вид

Но это действие содержит вторые производные метрики, от которых необходимо избавиться интегрированием по частям, чтобы получить действие, квадратичное по первым производным метрики, как и требуется в подходе, основанном на использовании континуальных интегралов. В результате мы получаем поверхностный член, которым часто пренебрегают, хотя он оказывается весьма важным [2, 3]:

где — метрика, индуцированная на границе, К — след второй квадратичной формы границы той области, по которой вычисляется действие, С — произвольная постоянная, которая может зависеть от метрики индуцированной на границе, но не от метрики внутри области. Если метрика на границе такова, что граница допускает вложение в плоское пространство, то постоянную С естественно выбрать так, чтобы действие обращалось в нуль, когда — плоская метрика. Однако не все метрики на границе допускают даже локальное вложение в плоское пространство. К тому же существование такой жесткой границы не очень физично. Учитывая это, я перечислю способы, позволяющие исключить поверхностный член и рассматривать только компактные многообразия.

Я буду говорить в основном о евклидовом подходе к чистой гравитации, но эти идеи могут быть распространены и на супергравитацию. Например, суперпространство вероятно, можно рассматривать как расслоение над пространственно-временным многообразием М (база расслоения) с грасмановым слоем. Координаты слоя представляют собой евклидов вариант спинора Майораны. Евклидовы методы впервые (и пока наиболее успешно) были применены к изучению тепловых свойств черных дыр. Поскольку многое на эту тему уже было опубликовано, я лишь кратко перечислю основные идеи и результаты. Затем я изложу содержание еще не опубликованной работы по гравитационному вакууму и закончу описанием объемного канонического ансамбля, служащего удобным инструментом при рассмотрении пенообразной структуры пространства-времени.