б. Алгебра расширенной суперсимметрии

Рассмотрим в качестве примера расширенную -супергравитацию [3] с лагранжианом

где

Некоторые члены четвертого порядка в исключены путем использования суперковариантной связности которую можно также получить в формализме первого порядка:

Суперпреобразования полей имеют вид

(это соотношение справедливо для всех расширенных супергравитаций),

Закон преобразования поля имеет простую форму благодаря использованию связности и суперковариантного обобщения тензора Максвелла

Алгебру суперсимметрии можно изучать, вычисляя коммутатор двух суперпреобразований с параметрами При этом обнаруживается, что алгебра замыкается точно на бозонах, в то время как на фермионах — только с помощью уравнений движения [18, 43]. Это общая черта расширенных супергравитаций; набор вспомогательных полей, благодаря которым алгебра точно замыкается, еще предстоит найти.

В результате коммутации возникают преобразования двух типов:

1) преобразования, не зависящие от полей; они не исчезают, даже если поля равны нулю;

2) преобразования, зависящие от полей; они обращаются в нуль вместе с полями. Этот тип содержит локальные преобразования Лоренца, суперсимметрии и калибровочные преобразования.

Преобразования, не зависящие от полей, весьма просты и соответствуют структуре алгебры. Они состоят из:

а) общекоординатного преобразования с параметром оно имеет универсальный вид для всех и означает, что антикоммутатор содержит член вида где — генератор трансляций;

б) калибровочного преобразования с параметром,пропорциональным . В случае -теорий соответствующее преобразование имеет вид Это означает, что калибровочных полей связаны с операторами центральных зарядов

В случае чистой -супергравитации заряды равны нулю, точно так же как равны нулю заряды в чисто калибровочной теории. Интересная ситуация возникает при взаимодействии -супергравитации с материальным мультиплетом, имеющим ненулевые центральные заряды. Известны два примера таких мультиплетов, оба из -суперсимметрии:

векторный калибровочный мультиплет который имеет ненулевые топологические центральные заряды для решений типа монополей [24];

скалярный мультиплет [44], который имеет ненулевой центральный заряд в массивном случае [18] (центральные заряды имеют размерность массы). Преобразования глобальной суперсимметрии на этом мультиплете дают

где или Первый член соответствует обычному сдвигу, а второй — -вращению мультиплетов Следовательно, здесь где — оператор электрического заряда, собственными векторами которого являются поля Как это ни странно, но этот похожий на электрический заряд пропорционален массе.

При переходе к искривленному случаю становится зависящим от х и скобка [61,62], вычисленная для действия материальной системы, приводит к ненулевой вариации, пропорциональной дивергенции электрического нетеровского тока, Т. е. пропорциональной где

Чтобы скомпенсировать этот член, к действию нужно добавить выражение, пропорциональное (так как скобка [61,62] на приводит к калибровочному преобразованию с параметром причем коэффициент пропорциональности определяется только алгеброй. Полное

нелинейное взаимодействие -супергравитации с этим мультиплетом было найдено Захосом [19].

Рассмотрим диаграммы одночастичного обмена между частицами материального мультиплета. Вследствие обсуждаемого взаимодействия частицы обмениваются не только гравитоном, приводящим в статическом пределе к притягивательной ньютоновской силе но также и безмассовой векторной частицей, приводящей, подобно фотону, к кулоновской силе В данном случае так что вклады векторного и тензорного обменов между одинаковыми зарядами взаимно уничтожаются, а между противоположными складываются. Это первая модель, в которой антигравитационные эффекты возникают из чисто алгебраических соображений. Чтобы судить о том, может ли антигравитация быть обнаружена экспериментально или она лежит пока в области научной фантастики, необходимо рассмотреть более реалистические модели с учетом эффекта Хиггса.

Взаимное уничтожение вкладов от обменов частицами разных спинов — явление, не новое в теории поля. Так, например, в некоторых моделях сила, с которой взаимодействуют магнитные монополи с одинаковыми зарядами, равна нулю на больших расстояниях [45], в то же время между монополями с противоположными зарядами действует притягивательная ньютоновская сила. В этой же модели электрическое отталкивание между заряженными векторными частицами одного знака сокращается со вкладом от обмена безмассовый скаляром, а притяжение противоположных зарядов удваивается [22]. Таким образом, не вызывает большого удивления возникновение такого эффекта в -супергравитации, в которой безмассовая векторная частица и гравитон входят в один мультиплет;