4. Вторые тождества Бьянки

Мы выразили кривизну через кручение; осталось выяснить, какие условия накладываются на кручение вторыми тождествами Бьянки

Это дифференциальные уравнения второго порядка. Нужно заметить (это проверяется явными выкладками [4]), что в обычной супергравитации вторые тождества Бьянки следуют из первых тождеств Бьянки и уравнения первого порядка

(коммутатор двух ковариантных производных является преобразованием структурной группы и ковариантной производной).

Мы покажем, что без каких-либо ограничений на кручение и на границу внутренней симметрии второе тождество Бьянки следует из уравнений (10) и (14).

Для этого докажем общую лемму и затем используем свойства генераторов структурной группы. Введем сокращение

Лемма. Уравнение

следует из уравнений (10) и (14).

Лемма доказывается непосредственно: нужно собрать члены, содержащие производные циклической суммы заменить его выражением через кручение, далее использовать (10); вторые производные кручения, возникающие при такой замене, включают только коммутаторы, которые выражаются с помощью (14). После этого все члены сокращаются вследствие

Учтя теперь свойства генераторов структурной группы, мы видим, что из равенства нулю (16) следует равенство нулю что и составляло наше утверждение.

Заметим сначала, что имеют структуру генераторов по отношению к последней паре индексов, поэтому по определению равно нулю, если последняя пара индексов не имеет той же структуры индексов, что у генератора. При данной структуре индексов А, В, С легко найти такие индексы , что циклическая сумма (16) содержит не более двух членов. Например, если А, В, С — спинорные индексы, то, выбирая D, Е векторными, немедленно получаем

Если А, В, С содержат не более одного типа спинорных индексов (с точкой или без точки), то выбор Е спинорами другого типа и взятие следа дает

Возьмем все индексы спинорными. Заметив, что лоренцева часть обращается в нуль из-за (17), получаем из (16) следующее уравнение для компонент

Взяв след по вейлевским индексам с точкой, мы видим, что симметричная и антисимметричная части По паре обращаются в куль. Поэтому отсюда следует

(второе уравнение получается из таких же рассуждений).

Разберем теперь случай, когда среди А, В, С имеются один векторный индекс и оба типа спинорных индексов. В качестве и Е выберем векторные индексы. Тогда из уравнения (16) получаем

Таким образом, симметричен по индексам и антисимметричен по индексам следовательно, он равен нулю. Это дает

Используя этот результат, возьмем в качестве и Е спинорные индексы. Из уравнения (16) получаем

Те же аргументы, которые привели к (19), показывают, что выполняется равенство

Пусть теперь А, В — векторные индексы, а остальные — спинорные индексы без точки. Используем тот факт, что компоненты М, соответствующие генераторам внутренней симметрии, равны нулю. Уравнение (16) дает

После некоторых алгебраических выкладок получаем

где — количество внутренних индексов. Используя также другое следствие (16)

получаем

(Те же аргументы приводят ко второму уравнению.) Это завершает доказательство: тождества Бьянки выполняются вследствие леммы (16), стало быть, они следуют из (10) и (14).