19.2. Вероятность ошибки

Вероятность правильного приема информации можно найти из выражения:

где и определяются из (19.2) и (19.6).

Обозначим плотность вероятности

а весовую функцию

где для интеграла для равенства (19.4); для интеграла (19.6); модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.

С учетом таких обозначений (19.2), (19.4) и (19.6) будут иметь вид соответственно:

Функция есть плотность вероятности, распределенная по закону Релея — Рейса. Чем больше у, тем ближе к нормальному закону. Максимум в этом случае имеет место при

По своей форме весовая функция близка к единичному скачку. С ростом «скачок» смещается в сторону больших х, а его крутизна в центральной части растет. Крутизна весовой функции максимальна при что следует из уравнения При изменении отношения сигнал-помеха х плотность вероятности перемещается по оси Если то при этом весовая функция в окрестности слабо зависит от х. Для (19.2) это условие означает:

Тогда вероятность правильного обнаружения синхросигнала

Здесь имеется в виду, что интеграл от примерно равен единице. Строго говоря, вычисление в должно производиться при фиксированном значении

При увеличении М для сохранения постоянного значения необходимо увеличивать относительный порог что приводит к изменению Однако если значения удовлетворяют условию (19.12), то изменением можно пренебречь и считать эту величину постоянной. Этот случай и рассматривается в дальнейшем.

Для выражения (19.6) условие означает:

Тогда вероятность правильного распознавания информационных сигналов

Подставляя (19.13) и (19.15) в (19.8), получим:

При достаточно больших можио получить

Тогда вероятность ошибки

Перейдем к минимизации (19.16).