2. ШУМОПОДОБНЫЕ СИГНАЛЫ

2.1. Сигналы и спектры

Сигналом называется изменяющаяся физическая величина, отображающая сообщение. Сигнал и, являющийся функцией времени записывается в виде

Множество сигналов определяемое единым правилом построения, называется системой сигналов. Таким образом, система сигналов определена, если известно правило построения сигналов. Номер сигнала указан в виде индекса Если число сигналов в системе L, то, можно пронумеровать сигналы натуральными числам» от 1 до и обозначить Число называется объемом системы сигналов.

В дальнейшем рассматриваются сигналы, которые можно представить в следующем виде:

где огибающая, несущая частота, медленно-меняющаяся часть фазы сигнала.

Представлению (2.1) соответствует радиочастотный сигнал. Так как рассматриваются реальные сигналы (которые можно сформировать и обработать), то все функции времени и параметры правой части (2.1) известны.

Когда сигнал задан в общем виде и правая часть (2.1) не известна, то необходимо воспользоваться преобразованием.

Гильберта и найти сопряженный сигнал В этом случае огибающая фаза

Если функция непрерывная и имеет непрерывную первую производную, то мгновенная частота сигнала по определению равна первой производной фазы т. е. -Преобразование Гильберта:

Рис. 2.1. Фазоманипулированный сигнал

На рис. 2.1, а показан фазоманипулированный сигнал (ФМ), состоящий из четырех радиоимпульсов с одинаковой несущей частотой, но с различными начальными фазами. На рис. и в представлены его огибающая и фаза Огибающая постоянна на интервале длительностью Т, а фаза равна двум значениям: 0 или к.

Если несущая частота сигнала то такой сигнал является видеочастотным. На рис. 2.1,г изображен видеочастотный сигнал последовательность положительных и отрицательных прямоугольных импульсов, полученный из ФМ сигнала рис. 2.1,а при условии, что Так как знаки импульсов видеочастотного сигнала определяются начальными фазами импульсов радиочастотного сигнала, то по аналогии с радиочастотным сигналом видеочастотаый также называется фазоманипулированным сигналом.

Спектр сигнала определяется преобразованием Фурье

Спектр является функцией угловой частоты где линейная частота. (В дальнейшем называются просто частотой.) Бесконечные пределы интегрирования соответствуют общему случаю. При определении спектра финитного сигнала (с конечной длительностью) необходимо учитывать его расположение на оси времени Спектр может быть представлен в виде где - амплитудный, а - фазовый спектр сигнала

Сигнал находится по спектру с помощью обратного преобразования Фурье

Ширина спектра. Спектр финитных сигналов имеет бесконечную протяженность, поэтому единого определения ширины спектра не существует. В зависимости от целей исследования ширину спектра сигнала находят по-разному. В дальнейшем ширина спектра определяется так, чтобы правильно отображать суть решаемой задачи. Такой подход оправдан тем, что для сигналов, входящих в одну систему, любое достаточно разумное определение ширины спектра будет правильно отображать спектральные свойства каждого сигнала и системы сигналов в целом. Ширина спектра сигнала обозначается

Комплексная огибающая сигнала и её спектр. Радиосигнал (2.1) содержит быстроменяющийся множитель в виде косинусоиды, в аргумент которой входит несущая частота Соответственно спектр (2.2) этого сигнала состоит из двух частотных полос, сосредоточенных около частот При теоретических исследованиях целесообразно для упрощения промежуточных математических операций «освободить» сигнал и его спектр от несущей частоты Это можно, осуществить при введении комплексной огибающей сигнала.

Комплексная огибающая радиосигнала (2.1) определяется как

где модуль является огибающей сигнала Переход от комплексной огибающей к сигналу осуществляется с помощью следующей формулы:

где действительная часть.

На рис. 2.1,г была изображена комплексная огибающая ФМ сигнала рис. 2.1,а. Она представляет собой последовательность прямоугольных видеоимпульсов и является действительной функцией времени. Это обусловлено тем, что начальные фазы импульсов ФМ сигнала принимают одно из двух значений: 0 или . В общем случае комплексная огибающая содержит и действительную, и мнимую составляющие, но всегда является видеосигналом, чем и объясняется переход к ней от радиосигнала.

Спектр комплексной огибающей

Комплексная огибающая сигнала находится согласно обратному преобразованию Фурье

Спектр комплексной огибающей можно представить в виде где амплитудный, а фазовый спектры.

Спектр сигнала и спектр его комплексной огибающей связаны соотношением где — знак комплексной сопряженности.

Так как комплексная огибающая видеосигнал, то спектр расположен в области видеочастот.

На рис. 2.2 изображен спектр комплексной огибающей произвольного сигнала (рис. 2.2,а — амплитудный спектр рис. фазовый спектр и спектр сигнала (рис. 2.2,е — амплитудный спектр, рис. 2.2,г — фазовый спектр).

База сигнала — произведение ширины спектра на длительность сигнала, т. е. Сигналы с базой называются простыми, а с базой шумоподобными или сложными. Особое значение имеют шумоподобные сигналы, у которых база

Энергия сигнала и частотно-временная плоскость. По определению, энергия сигнала

Для сигналов, у которых энергия сигнала выражается через модули комплексной огибающей и её спектра следующим образом:

Рис. 2.2. Спектр комплексной огибающей сигнала и спектр сигнала

Обычно большая часть энергии сигнала сосредоточена в некоторой полосе частот. Пусть ширина такой полосы частот, внутри которой сосредоточена большая часть заданной энергии, а вне этой полосы — меньшая, которой можно пренебречь. Определенная таким образом ширина полосы частот считается шириной спектра сигнала. В этом случае энергия сигнала сосредоточена в частотно-временном прямоугольнике со сторонами Т по оси времени по оси частот Для передачи сигнала с допустимой точностью необходимо иметь канал с полосой частот шириной и время передачи Т.

На рис. 2.3 приведен пример распределения энергии сигнала на частотно-временной плоскости Спектр сигнала сосредоточен около несущей частоты и располагается от до Рисунок имеет качественный характер, поскольку для финитных сигналов энергия распределена в полосе Поскольку комплексная огибающая является видеосигналом, то частотно-временной прямоугольник, на котором распределена основная часть энергии сигнала, будет расположен так, как это показано на рис. 2.4. Частотно-временной прямоугольник рис. 2.4 получается из базисного прямоугольника рис. 2.3 при смещении последнего вниз по частоте на чему и соответствует переход от радиосигнала с несущей частотой к его комплексной огибающей.

Рис. 2.3. Частотно-временная плоскость на радиочастоте

Рис. 2.4. Частотно-временная плоскость на видеочастоте