5.5. Объем больших систем ДЧ сигналов

В работе [44] был определен объем больших систем фазоманипулированных сигналов. Используя основы метода, предложенного в [44] и рассмотренного в [45], можно найти объем больших систем ДЧ сигналов. Корреляционные функции ДЧ сигналов при дискретных временных сдвигах А, где k — целое число, определяются числом совпадений частотных элементов на частотно-временной плоскости. Если число совпадений равно то модуль корреляционной функции

Среди систем ДЧ сигналов особое место занимают оптимальные системы, у которых число совпадений между различными парами сигналов при произвольных временных сдвигах равно 0 или 1. Объем таких оптимальных систем не превышает числа частотных элементов М, т. е. существенно меньше базы ДЧ сигналов. Вместе с тем в ряде технических задач необходимо иметь большие системы ДЧ сигналов, объем которых Поиски таких систем ведутся в настоящее время, но детерминированные алгоритмы построения еще неизвестны. Представляет интерес объем большой системы ДЧ сигналов с заданным числом совпадений [49].

Метод построения системы ДЧ сигналов с заданным числом совпадений аналогичен методу построения систем фазоманипулированных сигналов, описанному в [44]. Полный код ДЧ сигналов содержит сигналов. Выберем случайным образом сигналов. Рассчитаем все КФ этих сигналов. Выберем некоторое допустимое число совпадений причем Если число совпадений авто- и взаимокорреляционной функции (АКФ и ВКФ) превышает допустимое число совпадений то сигналы с такими АКФ и ВКФ удаляются из первоначальной системы. Таким образом, при помощи подобной операции можно получить некоторую систему объемом причем случайная величина. Если ее среднее значение не равно нулю, то такая система должна существовать. Обозначая через Р вероятность того, что число совпадений превышает допустимое, можно показать, как это сделано в [44, 45], что среднее значение объема искомой системы ДЧ сигналов равно

Следует отметить, что неравенство (5.43) справедливо при предположении статистической независимости КФ ДЧ сигналов, входящих в первоначальную систему. В общем случае это не имеет места. Но при построении большой системы ДЧ сигналов

необходимым условием является малый уровень КФ построенной системы сигналов, т. е. малое число совпадений При таком условии можно пренебречь статистической зависимостью КФ, что и позволяет использовать неравенство (5.43) для оценки среднего значения объема системы ДЧ сигналов при заданном числе совпадений.

Вероятность появления совпадений при заданных числе частотных элементов М и дискретном временном сдвиге X определяется следующим выражением в соответствии с (5.26)

где число совпадений удовлетворяет неравенству а модуль дискретного временного сдвига Формула (5.44) соответствует апериодическим КФ.

Положим, что дискретные временные сдвиги равновероятны, а вероятность их появления равна где число дискретных временных сдвигов. Безусловная вероятность появления совпадений в апериодической КФ

Вероятность того, что число совпадений не превысит

Соответственно вероятность превышения

Приближенная аналитическая оценка вероятности

При второе слагаемое в квадратных скобках выражения (5.48) много меньше единицы, поэтому

При третье слагаемое много меньше второго, что можно показать, используя формулу Стирлинга для факториала Подставляя (5.49) в (5.47), получаем

В квадратных скобках неравенства (5.50) первое слагаемое всегда много больше второго при Пренебрегая вторым слагаемым, получаем

Как следует из (5.51), объем больших систем ДЧ сигналов

растет как и практически не зависит от М. Это следует из предположения о том, что а также из того, что вероятность очень слабо зависит от М, поскольку при Относительный объем системы ДЧ сигналов и при системы ДЧ сигналов с малым числом совпадений составляют небольшую долю от полного кода.