3.4. Последовательности Лежандра и Якоби. Минимаксные последовательности

Периодические АКФ ряда кодовых последовательностей обладают интересными свойствами, что проиллюстрируем на примере ненормированной ПАКФ, которую определим согласно (3.25) в виде:

Если обозначить максимальное значение ПАКФ (3.50) через то известны возможные оценки максимального значения:

В (3.51) сравнения осуществляются по модулю Кодовые последовательности, у которых ПАКФ имеет точное значение часто называются минимаксными. К минимаксным последовательностям относятся и М-последовательности. В табл. 3.14 приведены известные минимаксные последовательности.

Таблица 3.14. Минимаксные последовательности

Таблица 3.15. Виды последовательностей

Следует отметить, что если данному периоду соответствуют различные по виду последовательности, то эти последовательности могут совпадать. Последовательности Холла с совпадают с последовательностями Лежандра при Последовательности Якоби в общем случае характеризуются периодом где значение I может быть равно 2; 4; 6, но только при эти последовательности минимаксные Последовательности Якоби с периодом называются также дважды простыми последовательностями.

Как видно из табл. 3.14, различным могут соответствовать различные последовательности. В табл. 3.15 указаны виды последовательностей для изменяющегося от 3 до 200. Через обозначены последовательности Лежандра, через последовательности Якоби, М соответствует М-последовательности.

Последовательности Лежандра. Если есть символ Лежандра (символ по отношению к то символы последовательности Лежандра определяются как

Отметим, что в теории чисел символы Лежандра вводятся при рассмотрении уравнений второй степени:

причем общий наибольший делитель Решить уравнение (3.52) означает найти такое х, при котором (3.52) превращается в тождество. Сравнение (3.52) имеет решения не при любых значениях Значения при которых уравнение (3.52) имеет решения, называются квадратичными вычетами, а значения при которых (3.52) не имеет решений, называются квадратичными невычетами. Символ Лежандра определяется как

Он определен для всех не делящихся без остатка на причем простое число, большее двух. Если символ Лежандра найден, то становится известным, имеет ли решение уравнение (3.52) при данном Из (3.52) следует, что если число представляет собой квадрат какого-то числа по модулю то он является квадратичным вычетом. Например, для уравнения имеем решение , т. е. число 17 — квадратичный вычет. Основные свойства символов Лежандра сводятся к следующим выражениям:

Отметим, что при символ Лежандра не определен.

На рис. 3.22 изображен сигнал Лежандра, построенный согласно последовательности Лежандра для :

Последовательности Лежандра, как и М-последовательности, являются линейными рекуррентными и описываются линейным рекуррентным уравнением вида где целое число.

Рис. 3.22. Сигнал Лежандра

Значение каждого символа последовательности получается путем преобразования в символ Лежандра если он определен. Последовательности Лежандра, как и М-последовательности, являются минимаксными.

Последовательность Якоби. Если символ Якоби

где общий наибольший делитель простые числа, то последовательность Якоби для определяется как

Раньше было оговорено, что под последовательностями Якоби будут подразумеваться такие, у которых период равен изменяется от 0 до Так как символ Якоби определяется произведением символов Лежандра, то вычисление его производится согласно правилам определения символов Лежандра.

Например, при период а символы последовательности Якоби за период чередуются следующим образом: Легко убедиться, что найденная последовательность Якоби является минимаксной. Соответствующий сигнал изображен на рис. 3.23.

Рис. 3.23. Сигнал Якоби

Последовательности Лежандра и Якоби, а также родственные им исследованы подробно, но они менее распространены по сравнению с М-последовательностями.