13.4. Оптимизация ААС с КР

Расчет помехоустойчивости ААС с КР возможен по известным формулам (13.3), (13.4) или подобным при отношении сигнал-взаимная помеха, определяемом согласно (13.2). Но в (13.2) число мешающих абонентов I случайно, так как число одновременно работающих абонентов в ААС может изменяться во времени. Поэтому необходимо иметь убежденность, что использование (13.2) закономерно.

В работах [83, 84] доказано, что для расчета помехоустойчивости ААС с КР достаточно использовать отношение сигнал-взаимная помеха (13.2), используя среднее значение числа активных (мешающих) абонентов X, т. е. рассчитывать отношение сигнал-взаимная помеха по формуле

где поскольку и при Доказательство справедливости применения (13.27) в ААС с КР позволило также решить проблему оптимизации ААС с точки зрения выбора ШПС. Приведем только основные результаты отмеченных работ [83, 84].

Число активных абонентов I случайное. Этот факт определяется активностью абонентов, под которой понимаем вероятность того, что абонент работает в данный момент времени. Обозначим эту вероятность (активность абонента) через Пусть общее число абонентов в ААС равно . В таком случае распределение числа активных абонентов описывается биномиальным законом [73]

где биномиальный коэффициент. Среднее значение К и дисперсия числа активных абонентов определяются следующими соотношениями:

Активность абонента может быть определена как предел где -время анализа; — суммарное время передачи информации за время анализа, при усреднении по ансамблю абонентов. Если активность абонента в данной ААС известна, то она определяет соотношение между длительностью информационной единицы, равной длительности сигнала Т, и максимальным интервалом приходящимся на одну информационную единицу с учетом пауз, т. е.

Соотношение (13.30) получается следующим образом. Допустим, что за время анализа было передано информационных единиц, т. е. На каждую информационную единицу в среднем приходится интервал Если активными являются все абоненты, то активность и длительность сигнала Т достигает максимального значения, равного

Поскольку число активных абонентов случайно, то можно ввести его коэффициент нестабильности

который в соответствии с (13.29)

Приближенное равенство справедливо при что обычно имеет место на практике. Для уменьшения нестабильности числа активных абонентов необходимо увеличивать среднее число Этот вывод, как будет показано в дальнейшем, имеет фундаментальное значение для ААС. Сначала рассмотрим более простой случай, а именно: изменение отношения сигнал-взаимная помеха в ААС.

Поскольку число активных абонентов случайно, то и отношение сигнал-взаимная помеха на выходе приемника

будет случайной величиной (более точно, дискретным марковским

процессом). Введем коэффициент нестабильности отношения сигнал-помеха

где среднее и среднеквадратическое значения случайной величины

Следует отметить, что хотя закон распределения числа активных абонентов известен (13.28), но моменты в замкнутом виде найти не удалось вследствие того, что I в формуле (13.33) входит в знаменатель. Поэтому было предположено, что закон распределения I имеет ярко выраженный максимум, а это действительно имеет место для биномиального закона при Поэтому, используя асимптотический метод Лапласа, можно показать [83], что

Последние приближения в (13.35), (13.36) сделаны потому, что по предположению. Подставляя (13.35), (13.36) в (13.34), получаем, что т. е. нестабильность отношения сигнал-помеха совпадает с нестабильностью числа активных абонентов в Таким образом, для уменьшения коэффициента нестабильности отношения сигнал-помеха необходимо увеличивать среднее число активных абонентов В свою очередь, это требование означает, что при постоянном общем числе абонентов в ААС целесообразно увеличивать их активность для стабилизации отношения сигнал-помеха. Увеличение активности абонента возможно только за счет увеличения длительности используемых сигналов Т до максимально возможного значения согласно (13.30). Поэтому в ААС целесообразнее использовать сигналы с максимально возможной длительностью, хотя из известной до настоящего времени формулы (13.27) это не следует, так как в ней не учитывается изменение числа активных абонентов во времени.

Сделанные выводы имеют качественный характер, поскольку было проанализировано только изменение отношения сигнал-помеха. В работе [84] дано доказательство этого принципиального результата и при определении помехоустойчивости ААС. Показано, что вероятность ошибки при приеме противоположных сигналов

где определено согласно (13.27). Первое слагаемое представляет собой вероятность ошибки без учета случайности числа активных абонентов, т. е. когда расчет ААС производится при замене случайного числа абонентов I его средним значением. Последнее слагаемое вызывает увеличение ошибки. Оно пропорционально квадрату нестабильности числа активных абонентов. Чем меньше коэффициент нестабильности, тем меньше вероятность ошибки. В соответствии с ( т. е. для уменьшения

вероятности ошибки необходимо увеличивать среднее число активных абонентов. Этот вывод совпадает с выводом, полученным после рассмотрения нестабильности отношения сигнал-помеха.

На рис. 13.3 изображена зависимость вероятности ошибки от отношения сигнал-помеха при различных значениях среднего числа активных абонентов Из рисунка видно, что при влияние случайности числа активных абонентов незначительно. Однако при малом числе активных абонентов вероятность ошибки увеличивается. Например, при увеличение вероятности ошибки значительно, особенно при больших отношениях сигнал-помеха (на два порядка). В этом случае необходимо для получения прежней вероятности ошибки увеличивать отношение сигнал-помеха примерно на это эквивалентно уменьшению числа абонентов на 12%, что крайне нежелательно, если учитывать необходимость повышения эффективности использования спектра радиочастот.

Рис. 13.3. Влияние нестабильности отношения сигнал-помеха на вероятность ошибки

Как следует из приведенного материала, для повышения эффективности ААС необходимо увеличивать среднее число активных абонентов Из формул (13.29), (13.30) следует, что

Вместе с тем от X зависит и Подставляя (13.38) в (13.27) и учитывая, что получаем

Из (13.39) следует, что отношение сигнал-помеха в конечном счете определяется только максимальной базой и общим числом абонентов и не зависит от длительности сигнала. Поскольку с увеличением длительности сигнала Т до максимально возможного значения увеличивается К и уменьшается вероятность ошибки, то отсюда следует, что в ААС необходимо использовать сигналы максимально возможной длительности.

В ряде ранних и в некоторых современных работах для использования в ААС рекомендуются различные импульсные сигналы. Как следует из материалов данной работы, подобные рекомендации нельзя считать корректными. Наилучшими являются сигналы максимальной длительности.