4.11. Объем больших систем ФМ сигналов

Первой работой, в которой было приведено доказательство существования больших систем ФМ сигналов, является работа [44]. В ней приведена нижняя граница объема больших систем, удовлетворяющих условию, при котором КФ сигналов, образующих систему, не превышают заданного уровня. С помощью границы Чернова в [44] найдено, что среднее значение объема большой системы удовлетворяет неравенству

где — допустимый уровень (максимум модуля) КФ. При неравенство (4.130) преобразуется в следующее:

которое свидетельствует об экспоненциальном росте объема

большой системы ФМ сигналов. Работа [44] имеет принципиальное значение для теории ФМ сигналов. Вместе с тем, необходимо отметить, что оценка биномиального распределения КФ с помощью границы Чернова дает хорошие результаты только при больших значениях КФ. В случае малых допустимых значений КФ корректнее использовать аппроксимацию биномиального закона рядом Эджворта:

где дисперсия коэффициент эксцесса при

— полином Эрмита. При этом среднее значение объема большой системы [45, 46]

Из формулы (4.129) также следует экспоненциальный рост объема большой системы с ростом длины последовательностей что совпадает с результатом работы [44] в соответствии с формулой (4.131). Вместе с тем, при увеличении уменьшается и дисперсия КФ. Поэтому возникает вопрос, как правильно задавать совместно допустимый уровень и длину последовательности Исследование этого вопроса, приведенное в [45], показало, что КФ обладают «пороговым свойством»: при произвольного сигнала превышает порог с вероятностью, близкой к 1, при это событие происходит с малой вероятностью. Пороговое значение

где а» 1,6. Если положить, что допустимый уровень

то среднее значение объема большой системы [45]

где Из (4.136) следует, что среднее значение объема больших систем с допустимыми корреляционными свойствами растет по степенному закону, который существенно отличается от экспоненциального закона. Введение «относительной единицы» измерения уровня КФ в виде позволило корректно определить объем большой системы сигналов. Например, если необходимо построить систему сигналов с объемом, равным базе, т. е. длине последовательности то надо положить При этом допустимый уровень КФ должен в превышать среднеквадратическое значение, равное Если необходимо построить системы с то множитель

Таким образом, более реальная задача, которую возможно решить, — построение системы сигналов С объемом, который определяется степенным законом

где А — некоторая постоянная, зависящая от .