5.2. Распределение числа совпадений в корреляционных функциях ДЧ сигналов

Число совпадений элементов в ДЧ сигналах согласно (5.10) определяет ВКФ таких сигналов в дискретных точках. Сначала рассмотрим случай, когда два ДЧ сигнала (полезный и мещающий) полностью перекрываются по времени. При этом число совпадений может изменяться от 0 до М. Полное перекрытие двух сигналов возможно, когда между полезным и мешающим сигналом нет временного сдвига или когда каждый из сигналов излучается непрерывно (периодически). При этом на выходе согласованного фильтра будем иметь периодическую ВКФ. Перейдем к распределению числа совпадений.

Число ДЧ сигналов без совпадений элементов по частоте

Соответственно число пар сигналов равно Из них пар сигналов состоят из тождественно одинаковых сигналов и имеют М совпадений, а из оставшихся пар сигналов половина не различима, так как каждой паре с номерами I к соответствует пара с номерами и I, т. е. можно исследовать не более пар сигналов.

Доказано [5], что относительное число пар перестановок с совпадениями или вероятность совпадений

Число называется субфакториалом, так как доказано, что оно имеет много свойств, аналогичных свойствам факториалов.

Субфакториал

Таблица 5.1. Субфакториал

Его значения приведены в табл. 5.1.

Для субфакториала известны рекуррентные соотношения:

которые позволяют найти любое и Формулы (5.20) — (5.23) позволяют найти вероятность совпадений.

При больших М выражение в квадратных скобках (5.21) стремится к что позволяет аппроксимировать распределение вероятностей (5.20) законом Пуассона со средним значением, равным единице [5]:

Из (5.24) следует, что при М 1 вероятность практически не зависит от М. Наиболее вероятны случаи, когда (совпадений нет) и (одно совпадение). Их вероятности примерно равны В табл. 5.2 приведены значения вероятностей для рассчитанные по точной формуле (5.20).

Таблица 5.2. Распределение числа совпадений

Сравнение данных табл. 5.2 с законом (5.24) позволяет использовать этот закон для приближенных расчетов. Распределение при (табл. 5.2) незначительно отличается от распределения (5.24), а распределение при практически не отличается от (5.24). Поскольку наиболее вероятными согласно (5.24) являются то модуль ВКФ (5.10) наиболее вероятно будет равен Среднее значение числа совпадений, распределенного по закону Пуассона (5.24), равно 1. Поэтому среднее значение модуля

Вероятность появления равна 0,736, вероятность появления равна 0,92, а вероятность появления равна 0,981. Отметим, что эти вероятности согласно (5.24) не зависят от М. И поэтому при уровни должны быть малыми.

Если полезный и мешающий сигналы перекрываются частично, то в этом случае на выходе согласованного фильтра будет иметь место апериодическая ВКФ. На рис. 5.2 изображено совместное расположение двух частично перекрывающихся ДЧ сигналов первого порядка: сигнал А (левая штриховка) опережает сигнал В (правая штриховка) на два элемента. Перекрытие сигналов возможно только в прямоугольнике выделенном толстой линией. При перекрытии сигналов А и В, изображенном на рис. 5.2, имеет место одно

совпадение (квадрат с совпадающими штриховками). Допустим, что временной сдвиг, кратен длительности элемента где целое число, удовлетворяющее условию где М — число элементов в ДЧ сигнале. При имеем случай периодической ВКФ, при сигналы не перекрываются. Так как полностью характеризует временной сдвнг, то в дальнейшем будем оперировать только с

Рис. 5.2. Частичное совпадение ДЧ сигналов

Доказано [5], что вероятность совпадений при временном сдвиге

где неполный субфакториал [5]

При правая часть формулы (5.27) совпадает с определением субфакториала (5.21).

Для неполного субфакторнала справедливо соотношение

где определяется согласно (5.27).

Если сдвиг небольшой то вероятность совпадений (5.26)

где определяется согласно (5.24). Более точное приближение для больших обеспечивает следующая формула для вероятности совпадений:

Но формула (5.30) будет справедлива лишь при