10.4. Фильтрация сосредоточенных помех

В § 10.2 было рассмотрено воздействие шумовой помехи, действующей на произвольный элемент сигнала. Обратимся к воздействию сосредоточенной шумовой помехи, полностью перекрывающей спектр всего сигнала.

Сосредоточенная помеха с равномерным спектром. Предположим, что сосредоточенная шумовая помеха является гауссовским стационарным случайным процессом с равномерной спектральной плотностью мощности в пределах полосы частот сигнала шириной Если мощность помехи то ее спектральная плотность мощности а отношение сигнал-помеха на выходе согласованного фильтра аналогично (10.2), (10.14) будет Как при одном элементе, так и в случае сигнала в целом, чем больше база, тем больше отношёние сигнал-помеха на выходе по сравнению с отношением сигнал-помеха на входе. Поэтому с ростом базы сигнала подавление сосредоточенной помехи увеличивается.

Сосредоточенная помеха одинаковым образом действует на все элементы сигнала. Если они обладают равными энергиями, то элементные отношения сигнал-помеха равны между собой. В результате оптимальным накоплением будет линейное, поскольку весовые коэффициенты (10.36) также равны между собой. И в этом случае набор каналов сводится к одному фильтру, согласованному с сигналом.

Отношение сигнал-помеха пропорционально отношению сигнал-помеха на входе приемника. Кратко поясним, чем определяется отношение Мощность сигнала на входе приемника определяется мощностью передатчика создающего полезную информацию, антенн передатчика и приемника расстоянием до передатчика условиями распространения радиоволн. В свою очередь мощность помехи на входе приемника определяется мощностью передатчика Рпер, создающего помеху, его антенны антенны приемника в направлении передатчика помехи расстоянием до него и условиями распространения радиоволн. Полагая, что условия распространения радиоволн одинаковы, имеем

где зависит от среды, в которой распространяются радиоволны. Для свободного пространства При использовании следует полагать, что Из (10.41) видно, что отношение включает в себя основные технические и пространственные характеристики системы передатчик — приемник — передатчик помехи. Величины правой части (10.41) определяют стоимость и во многом эффективность системы связи и системы разрушения информации. Таким образом, отношение имеет большое практическое значение при разработке радиотехнических систем. В зависимости от отношений параметров, входящих в правую часть (10.41), и, особенно, от отношение может быть различным, в том числе много меньшим единицы. Если изменяется, то и изменяется, но более резко. Расчеты показывают, что отношение может достигать значений Из формулы (10.2) следует, что если даже то величфа которая определяет помехоустойчивость приема информации может быть сделана существенно больше единицы. Следовательно, увеличивая базу используемых сигналов В, можно достигнуть заданного значения

Совместное воздействие помех и шума. Используя ШПС с большими базами, можно «извлекать» сигналы из-под помехи, во много раз превосходящей сигнал по мощности. Предел увеличения этой способности определяют собственные шумы приемника, у которых спектральная плотность мощности постоянна и равна и практически не изменяется с изменением полосы пропускания.

Известно, что при воздействии сосредоточенной помехи с мощностью и собственного шума приемника со споктральной плотностью отношение сигнал-помеха на выходе

где отношение сигнал-шум; мощность ственного шума, попадающего в полосу пропускания шириной Если то а если то с собственным шумом приемника можно не считаться. При этом совпадают с

Из приведенных результатов следует, что помехоустойчивость при воздействии сосредоточенных помех определяется и базой используемых сигналов. Отметим, что полученный результат справедлив при двух условиях — сосредоточенная помеха является гауссовским случайным процессом и обладает равномерной спектральной плотностью. Во многих случаях эти условия не выполняются, например, при действии мощной структурной помехи. В этих случаях помехоустойчивость в значительной мере определяется подобием и различием структур сигнала и помехи, т. е. тем, как подавляются отдельные элементы сигнала помехой.

Сосредоточенная помеха с неравномерным спектром. Допустим, что помеха является стационарным случайным процессом с неравномерной спектральной плотностью мощности В этом случае коэффициент передачи согласованного фильтра определяется следующим выражением (см., например,

где с — постоянная; спектр сигнала. Отношение сигнал-помеха при этом определяется выражением

При определении влияния изменения формы спектров в формуле (10.44) на отношение сигнал-помеха при условии, что фильтр всегда согласован с сигналом, обычно полагают постоянными энергию сигнала

и мощность помехи на входе фильтра (10.7).

При изменении спектров сигнала и помехи могут быть два случая. В первом случае задается спектр помехи а спектр сигнала выбирается так, чтобы получить максимальное значение которое обозначим Во втором случае задается спектр сигнала, а спектр помехи выбирается так, чтобы на выходе фильтра получить минимальное значение В обоих случаях с изменением спектров фильтр перестраивается так, чтобы быть согласованным в соответствии с формулой (10.43).

Изменение спектра сигнала. Поскольку то из формулы (10.44) получаем неравенство

Здесь наименьшее минимальное значение спектральной плотности помехи, поскольку в общем случае минимумов может быть несколько. Чтобы достигло значения необходимо сосредоточить спектр сигнала в той области частот, где или близко к этому значению, что влечет за собой сужение спектра сигнала.

Если ширина спектра помехи и мощность помехи (10.7) конечна, то средняя спектральная плотность помехи

Для помехи с равномерным спектром всегда выполняется равенство Если в этом случае помеха перекрывает сигнал по спектру (ширина спектра сигнала то максимальное значение отношения сигнал-помеха

Для помехи с неравномерным спектром всегда справедливо неравенство

Таким образом, любая неравномерность спектра помехи дает принципиальную возможность увеличить отношение сигнал-помеха в случае подстройки спектра сигнала под помеху.

Изменение спектра помехи. Помеха подстраивается под сигнал, а фильтр под сигнал и помеху согласно (10.43). Помеха выбирается так, чтобы получалось минимальное значение отношения сигнал-помеха, т. е. Это вариационная задача на условный экстремум. Действительно, изменяя надо минимизировать интеграл (10.44) при условии, что мощность помехи Такая задача относится к изопериметрическим. Ее решением является спектральная плотность

Поскольку А, постоянная величина, спектральная плотность помехи должна совпадать по форме с амплитудным спектром сигнала. Соответственно

При этом обязательным условием является существование интеграла от правой части равенства (10.49). Отметим, что для реальных сигналов данное условие всегда выполняется. Решение (10.48) соответствует минимуму интеграла (10.44):

Предположим, что сигнал и помеха сосредоточены в некоторой области частот ширина которой При этом энергия сигнала и мощность помехи определяются выражениями (10.45), (10.7), в которых пределы интегрирования определяются областью Согласно неравенству Буняковского — Шварца из формулы (10.50) следует, что

Равенство в (10.51) выполняется только при В этом случае и максимальное значение Таким образом, если помеха подстраивается под сигнал, то максимум отношения сигнал-помеха будет тогда, когда спектр сигнала равномерный.

Выразим через отношение мощностей сигнала и помехи. Поскольку средняя мощность сигнала на входе фильтра то максимальное значение Отсюда следует, что отношение сигнал-помеха на выходе фильтра возрастает по сравнению с отношением сигнал-помеха на его входе в раз.

Помеха в виде суммы белого шума и узкополосных помех. Сказанное ранее относилось к случаям, когда либо сигнал подстраивался под помеху, либо помеха — под сигнал. На практике пред ставляет интерес оценка отношения сигнал-помеха для случая, когда помеха равна сумме белого шума со спектральной плотностью и узкополосных помех. Будем считать, что спектры узкополосных помех не перекрывают друг друга. Пусть узкополосная помеха сосредоточена в полосе частот а ее спектральная плотность постоянна в этой полосе частот и равна Обозначим область частот, где действует белый шум и узкополосная помеха, через а где только белый шум — через

При таких предположениях из формулы (10.44) получаем

Суммирование производится по всем Имеем

Допустим, что Тогда

Из выражения (10.54) следует, что отношение сигнал-помеха зависит от отношения части энергии сигнала, приходящейся на все частотные участки, где действуют узкополосные помехи, к полной энергии сигнала. Обозначая суммарную энергию всех узкополосных помех через

выражение (10.54) записывается в следующем виде:

Таким образом, чем больше энергия сигнала Е по сравнению с суммарной энергией помех тем больше отношение сигнал-помеха.

Оценим влияние на величину множителя в формуле (10.53). Пусть спектральные плотности всех узкополосных помех одинаковы и равны Полагая из (10.53) приближенно получаем, что

Третье слагаемое в (10.57), отсутствующее в (10.56), обусловлено учетом множителя в формуле (10.53). Чем больше отношение тем меньше влияние этого слагаемого и,

следовательно, множителя в (10.53). Это объясняется тем, что с ростом коэффициент передачи фильтра на тех частотах, где есть узокополосная помеха, в раз меньше по сравнению с коэффициентом передачи на тех частотах, где помех нет. Чем больше тем меньше влияние тех частотных участков, где есть узкополосные помехи. К такому оптимальному методу приема будет близок неоптимальный, который сейчас и рассмотрим.

Допустим, что фильтр согласован с сигналом, принимаемым на фоне белого шума, а узкополосные помехи вырезаются полностью режекторными фильтрами.

Отношение сигнал-помеха на выходе фильтра

Окончательно имеем

Сравнивая (10.53) и (10.59), замечаем, что разница между ними определяется множителем в формуле (10.53). С ростом отношения эта разница уменьшается.

Произвольная помеха. Допустим, что фильтр согласован с сигналом в предположении, что помехой является белый шум, а в действительности помеха обладает неравномерным спектром В этом случае отношение сигнал-помеха

Допустим, что спектр сигнала постоянный в полосе частот Спектральная плотность сигнала записывается в следую-щем виде:

Подставляя (10.61) в (10.60) и учитывая (10.7), находим

Если постоянные величины, то отношение сигнал-помеха увеличивается с ростом независимо от вида помехи. Для помехи с постоянным спектром в полосе сигнала мощность Тогда (10.62) превращается в известное выражение

Отношение сигнал-помеха (10.60) примет наименьшее значение тогда, когда интеграл примет максимальное.

Минимум имеет место при условии

Условие (10.63) означает, что спектральная плотность наиболее

мешающей помехи совпадает по форме с энергетическим спектром сигнала. Окончательно имеем

Если допустить, что спектр сигнала равномерный в полосе частот то (10.64) сведется к

Оценим, к каким потерям в отношении сигнал-помеха приводит неравномерность спектра сигнала. Предположим, что спектр сигнала сосредоточен в полосе частот от 0 до а энергетический спектр сигнала

Здесь I — целое цисло, а х - характеристика неравномерности.

Подставляя (10.65) в (10.64), получаем

Второй множитель в формуле (10.66) определяет потери обусловленные неравномерностью спектра сигнала. Если (наихудший случай), то потери отношения сигнал-помеха составят Отметим, что величина потерь не зависит от формы спектра сигнала, так как в формулу (10.66) не входит величина I, определяющая характер изменения спектра (10.65). Это связано с принятой аппроксимацией спектра сигнала (10.65).

Необходимо отметить, что если сигнал или помеха в согласованном фильтре подстраиваются друг под друга, то наиболее часто встречающимся на практике является случай, когда сигнал и помеха обладают равномерными спектрами в одной и той же полосе частот.

С точки зрения постановщика помехи необходимо так подстраивать помеху, чтобы имело место равенство где а — постоянная размерная величина. Это равенство определяет характер оптимального воздействия помехи: сильнее подавлять те спектральные составляющие сигнала, которые переносят большую часть энергии сигнала. Если помеха имеет резкий пик в своем спектре, то согласно (10.43 усиление согласованного фильтра в области частот пика резко снижается и в этой области частот согласованный фильтр становится режекторным и исключает эту мощную часть помехи. Здесь имеется полная аналогия между оптимальным накоплением с весовыми коэффициентами (10.36) и согласованным фильтром (10.43). Весовой коэффициент (усиление фильтра) пропорционален сигнальной составляющей (по напряжению) и обратно пропорционален мощности помехи.

В свою очередь любой «провал» в спектре помехи позволяет согласно (10.43) увеличить усиление согласованного фильтра и тем самым повысить отношение сигнал-помеха (10.44). Поэтому система постановщик помехи — приемник находится в динамическом

равновесии только тогда, когда спектр сигнала и спектр помехи равномерны. При этом ни одна из сторон не получает дополнительного выигрыша в повышении (понижении) помехоустойчивости из-за неравномерности спектра. Точно такой же результат следует из рассмотрения кривых рис. 10.3, которые сходятся в точке когда помеха действует на все элементы. Особенно показательно сравнение прямых 3 и 4. Прямая 3 характеризует снижение помехоустойчивости, если помеха воздействует на элементов, а в приемнике не принято специальных мер по защите от мощных помех и накопление в приемнике линейное. Если приняты меры по защите от мощных помех в виде оптимального накопления (прямая 4), то это обеспечивает существенный выигрыш в помехоустойчивости. И только в точке этого выигрыша нет. При этом выигрыш в помехоустойчивости согласно (10.2) можно обеспечить только за счет увеличения базы сигнала.

Если помеха не является стационарной, то сначала целесообразно рассматривать ее воздействие на элементы сигнала, а затем учитывать результаты накопления.