13.6. Фильтрация мощных ДЧ структурных помех

Как было отмечено в гл. 10, борьба с мощными помехами должна вестись с учетом знания распределения энергии сигнала и помехи на частотно-временной плоскости. Для сигналов и помех в виде дискретных частотных (ДЧ) ШПС это особенно наглядно, поскольку такие ШПС имеют ярко выраженное распределение энергии в М из квадратов частотно-временной плоскости (см. рис. 10.1).

Рис. 13.5. Частотно-временная плоскость с ДЧ сигналом и ДЧ помехой

При передаче информации в системе связи каждый полезный сигнал принимается на фоне мешающих сигналов, имеющих такую же структуру. На рис. 13.5 полезный ДЧ сигнал на интервале 0, Т показан прямоугольником, выполненным «жирными» линиями. Он «перекрывается» на частотно-временной плоскости двумя соседними ДЧ сигналами от одного мешающего абонента. Штриховка у мешающих сигналов повернута на относительно штриховки полезного сигнала. Сдвиг между мешающими сигналами относительно полезного равен Хотя мешающие сигналы полностью «перекрывают» полезный сигнал по времени, из-за различия в кодовых последовательностях на частотно-временной плоскости перекрываются только два элемента с двойной штриховкой на рис. 13.5. Именно эти элементы и будут определять снижение помехоустойчивости. Такое перекрытие полезного сигнала соседними сигналами от мешающего абонента является аналогом периодической взаимокорреляционной функции (ВКФ) этих сигналов. Будем называть подобное перекрытие периодическим режимом. В работе [86] определены статистические характеристики числа совпадений сигналов и помех в виде ДЧ ШПС. Приведем основные результаты работы [86].

Предположим, что структурная ДЧ помеха, так же, как и сигнал, содержит М элементов. Допустим, что каждый элемент может

равновероятно занимать одно из М положений в столбце частотновременной плоскости (см. рис. 10.1). Вероятность совпадения элемента помехи с элементом сигнала при этом предположении равна а вероятность несовпадения Допустим теперь, что на ДЧ сигнал действуют К помех. Вероятность несовпадения всех элементов от К помех с элементом сигнала в одном из столбцов будет равна Соответственно вероятность совпадения будет равна Вероятность совпадений в столбцах определяется биномиальным законом и записывается следующим образом:

Среднее значение и дисперсия числа совпадений по определению [55]

Если то биномиальный закон (13.44) стремится к пуассоновскому. По мере увеличения К закон (13.44) стремится к нормальному закону при условии, что В общем случае при из формул (13.45), (13.46) находим

Если то из (13.47), (13.48) имеем и биномиальный закон (13.44) стремится к пуассоновскому, т. е.

Если то и наиболее вероятными будут случаи, когда или нет ни одного совпадения или одно совпадение

При биномиальный закон распределения стремится к нормальному со средним значением и с дисперсией При среднее значение стремится к М, а дисперсия т. е. нормальный закон стремится к дельта-функции с При этом вероятность полного совпадения всех элементов сигнала стремится к единице, что является естественным.

Рассмотрим помеху в виде оптимальных ДЧ сигналов, которыми являются сигналы, имеющие попарно не более одного совпадения или при любых временных смещениях друг относительно друга. При этом на каждый ДЧ сигнал накладывается только один мешающий, что соответствует апериодическому режиму работы.

При передаче информации в радиотехнической системе ДЧ сигналами каждый из них перекрывается последовательностями мешающих ДЧ сигналов. При полном перекрытии оптимальных ДЧ сигналов число совпадений может принимать уже три значения:

или 2. Число совпадений появляется тогда, когда полезный ДЧ сигнал имеет по одному совпадению с частями обоих соседних ДЧ сигналов, которые перекрывают полезный. Для сигналов, представленных на рис. 13.5 при дискретных временных сдвигах, числа совпадений составляют последовательность 0, 1, 2, 0, 2, 1.

Закон распределения числа совпадений оптимальных ДЧ сигналов неизвестен ни для апериодического режима работы или 1), ни для периодического или 2). Однако для периодического режима задачу можно упростить следующим образом. Обозначим через число совпадений с Для сигналов рис. Можно показать, что для любых оптимальных ДЧ сигналов при периодическом режиме имеют место следующие два уравнения: Из этих уравнений следует, что всегда Если определить вероятность появления совпадений как отношение то среднее значение числа совпадений равно единице, что следует из равенства Исходя из этого факта, допустим, что в случае мешающих сигналов в виде оптимальных ДЧ сигналов при любом временном сдвиге всегда будет только одно совпадение.

Используя такое допущение, перейдем к рассмотрению воздействия помех в виде оптимальных ДЧ сигналов, каждая из которых дает одно совпадение с полезным сигналом. Суммарное число совпадений при может быть равно или К, или , или или 1. Число совпадений имеет место тогда, когда сигналы помех поражают различные элементы, а когда все помехи поражают один и тот же элемент.

Исследования привели к следующему рекуррентному виду закона распределения вероятностей совпадений при X помехах:

причем по определению (при всегда имеем одно совпадение), а

Если то можно показать, что При малых К наиболее вероятное значение числа совпадений равно Я, т. е. элементы, пораженные различными помехами, не совпадают. С увеличением К наиболее вероятное число совпадений становится меньше X

Среднее значение числа совпадений по определению равно

Подставив в (13.52) рекуррентное определение преобразуя его, получаем

Поскольку то из (13.53) получаем рекуррентную формулу причем Вычисляя последовательно значения можно найти, что

В пределе из (13.54) имеем

При пренебрегая единицей по сравнению с этими величинами, из (13.55) получаем экспоненциальный закон (13.45). Следовательно, среднее число совпадений не зависит от выбора сигналов и совпадает со средним числом при случайных ДЧ сигналах. Дисперсия числа совпадений для оптимальных ДЧ сигналов не была найдена. Но есть основания считать, что ее закон изменения близок к изменению дисперсии (13.46). Во всяком случае с ростом К дисперсия числа совпадений должна стремиться к нулю, так как вероятность поражения всех М элементов в свою очередь стремится к единице.