3.6. Дополнительные последовательности

Последовательности называются дополнительными [19], если

где

Например, последовательности

являются дополнительными. Значения их автокорреляционных функций приведены в табл. 3.16.

Таблица 3.16. АКФ дополнительных последовательностей

Отметим, что в дальнейшем рассматриваются последовательности, у которых При заданном можно построить несколько различных пар дополнительных последовательностей, комбинируя положения символов.

У дополнительных последовательностей число символов должно быть одинаковым и равно При этом число является четным и равно сумме квадратов двух целых чисел

где целые числа, равные числу —1 в первой и второй

дополнительных последовательностях. Формула означает, что число символов может быть только суммой квадратов двух целых чисел, включая нуль. Например, при 100 имеется ряд чисел 2, 4, 8, 10, 16, 18, 20, 26, 32, 36, 40, 50, 52, 58, 64, 68, 72, 74, 80, 82, 90, 98, 100, из которых можно найти для дополнительных последовательностей.

Необходимо отметить, что условие (3.67) является необходимым, не достаточным. Например, доказано, что не существует дополнительных последовательностей с

Композиции дополнительных последовательностей. Если имеется пара дополнительных последовательностей длины то их композициями будем называть дополнительные последовательности длины образованные по определенным правилам из исходных последовательностей. Известны два правила образования композиций: правила чередования, и присоединения.

Правило чередования означает следующее. Если заданы две последовательности: то последовательность в которой символы одной исходной последовательности чередуются с символами другой, называется составленной по правилу чередования.

Можно доказать, что последовательности

являются дополнительными. Используя правило чередования получим пару дополнительных последовательностей длины

Правило присоединения означает следующее. Если заданы две последовательности то последовательность в которой за символами одной исходной последовательности следуют символы другой, называется составленной по правилу присоединения.

Можно доказать, что последовательности

являются дополнительными. Повторяя последовательно раз правило присоединения (3.70), получаем последовательность длины

Частным случаем (3.69) является число В качестве исходной последовательности при берется один символ 1, при этом При согласно (3.70) имеем

При

Корреляционные свойства дополнительных последовательностей при Рассмотрим два сигнала с комплексными огибающими длительностью Т и энергией Е. Образуем композиции, аналогичные (3.70):

Функции неопределенности (ФН) сигналов (3.71) в соответствии с (2.21)

где или 4, знак соответствует знак соответствует определяются согласно (2.21), а согласно (2.18);

Как видно, ВФН не вошли в (3.73). Это приводит к следующему. Поскольку длительности сигналов равны Г, то их отличны от нуля только в пределах полосы в то же время сигналы (3.71) имеют длительность 27, и их ФН (3.73) отличны от нуля в пределах полосы Следовательно, суммирование корреляционных функций приводит к полному подавлению боковых пиков в полосах Это свойство сигналов (3.71) имеет общий характер.

Действительно, используя последовательно правило присоединения (3.71), получим сигналы длительностью вида

При получаем исходные сигналы (3.71). Можно показать, что модуль суммы ФН сигналов (3.74)

Следовательно, при произвольном тело неопределенности (3.75) суммы двух ФН совпадает в основном с корреляционной

функцией исходного сигнала, но с изменением масштаба оси частот в соответствии с длительностью сигналов (3.74). Если тело неопределенности исходного сигнала имеет центральный пик и малые боковые пики, то и тело неопределенности (3.75) будет иметь центральный пик не шире исходного и малые боковые пики.

Спектральные свойства дополнительных последовательностей при Если спектр комплексной огибающей

то спектры комплексных огибающих (3.71) при условии равны, т. е.

Модули выражений (3.77) и (3.78) отличаются гармоническими множителями. Следовательно, нули этих спектров будут чередоваться. При этом, конечно, не учитываются нули исходного спектра Причем имеет место соотношение

т. е. спектры как бы дополняют друг друга. С увеличением номеров сигналов характер спектров становится более сложным, но и свойство «дополнительности» (3.79) сохраняется. Если спектры комплексных огибающих аналогично (3.76), то

Соотношение (3.80) аналогично (3.79).