4.3. Системы Уолша

Среди систем ФМ сигналов многие образованы на базе систем Уолша.

Системам Уолша и их применению посвящено большое число работ (см., например, [5]). Существуют различные и адекватные определения систем Уолша. Для исследования систем Уолша с точки зрения их корреляционных свойств целесообразно использовать матрицы Адамара, которые определяются следующим символическим равенством:

где матрица Адамара порядка (число строк равно числу столбцов матрица Адамара порядка Полагая из (4.27) получаем следующие матрицы порядка 2, 4, 8:

Используя (4.27), можно найти матрицы Адамара для любого где целое число. Матрицы Адамара известны не только порядка но и других значений . В основном известны матрицы Адамара порядка кратного 4. В табл. 4.2 [14] приведены матрицы Адамара для и кратных 4.

Матрицы Адамара удовлетворяют уравнению

где транспонированная матрица Адамара; 1 — единичная матрица. В (4.31) используется обычное произведение матриц.

Матрица порядка может быть получена путем применения прямого (или внешнего) произведения матриц. Если и матрицы Адамара порядков то прямое произведение

Таблица 4.2. (см. скан) Параметры матриц Адамара

где элементы матрицы В (4.32) каждый элемент умножается на все элементы матрицы по правилу умножения матрицы на скаляр. Порядок матрицы равен произведению Из (4.32) следует, что матрица

Формула (4.33) соответствует символическому равенству

В качестве кодовых последовательностей системы Уолша можно брать строки или столбцы матрицы Адамара. Число кодовых последовательностей равно порядку матрицы Следовательно, объем системы Уолша равен Обозначать системы Уолша будем следующим образом: например, где цифра равна объему.

Обозначим кодовую последовательность Уолша как а ее символ через Уравнение (4.31) определяет ортогональность кодовых последовательностей Уолша, т. е. выполняется равенство

Для символов последовательностей Уолша используется следующее мультипликативно-двоичное представление:

где

целая часть двоичное представление номера последовательности В формуле Рассмотрим пример. Пусть для матрицы Адамара (4.30). В табл. 4.3 приведены формулы для определения показателя степени при и сами последовательности.

Таблица 4.3. (см. скан) Мультипликативно-двоичное представление последовательностей Уолша

В первом столбце табл. 4.3 приведены номера последовательностей в десятичном счислении, а в трех последующих столбцах — в двоичном счислении. Номера двоичных символов расположены в порядке возрастания разрядов слева направо так же, как и в сумме показателя степени в (4.35). В пятом столбце приведены формулы для нахождения показателя степени, который равен сумме слагаемых вида

Напомним определение целой части если где целое число, то Число слагаемых в сумме равно

числу единиц в двоичном представлении числа Для вся сумма равна 0, для сумма равна первому слагаемому для сумма равна второму слагаемому Вычисляя показатель степени для каждого и возводя —1 в получаемую степень, получаем все символы которые приведены в последующих столбцах табл. 4.3. Сравнивая полученные кодовые последовательности (строки табл. 4.3, состоящие из 1 и —1) с кодовыми последовательностями матрицы (4.30), замечаем, что они идентичны.

Система Уолша является группой. Доказательство следует из представления (4.35). Произведение

Сумма где некоторая последовательность, принадлежащая тому же полному коду с что и последовательности Следовательно, произведение является последовательностью Уолша. Для примера в табл. 4.4 приведена таблица умножения для системы Уолша

В табл. 4.4 и k - номера последовательностей Уолша, упорядоченных в соответствии с табл. 4.3. Произведение двух последовательностей Уолша дает новую последовательность Уолша. Например, если то в результате умножения получается последовательность с номером 3.

Из табл. 4.4 следует, что нейтральным элементом является последовательность с номером

Таблица 4.4. Групповые свойства системы Уолша

Рис. 4.3. Система Уолша

состоящая из одних единиц, а обратными элементами являются сами элементы.

Так как система Уолша является подклассом полного двоичного кода объемом и в то же время она является группой, то она есть подгруппа полного кода. В результате полный двоичный код может быть разложен по системе Уолша. Например, пусть Полный код имеет объем Пронумеруем все последовательности полного кода номерами от 0 до 15. Последовательности Уолша имеют номера 0, 3, 5, 6. Одно из возможных разло? жений полного кода имеет следующий вид:

В (4.38) верхняя строка представляет собой систему Уолша, а остальные строки — смежные классы. В соответствии с классификацией систем сигналов каждая строка — подкласс полного кода. Выбор образующих определяет свойства подкласса. Число смежных классов, включая систему Уолша, равно Так как где — целое число, то число смежных классов равно

- На рис. 4.3 приведены кодовые последовательности упорядоченные по числу блоков На рис. 4.3 справа указаны число блоков и номер последовательности в соответствии с табл. 4.3. Для системы Уолша характерно то, что число блоков в последовательностях изменяется от 1 до Поэтому система Уолша должна обладать плохими корреляционными свойствами, так как у большинства последовательностей число блоков далеко от оптимального. Это подтверждается тем, что большинство АКФ и ВКФ последовательностей Уолша имеют большие боковые пики (см., например, табл. 4.1).

Известно, что спектры сигналов Уолша сдвинуты относительно друг друга по частоте. Сдвиг можно характеризовать как положением максимума спектральной плотности мощности, так и эффективной шириной спектра. Чем больше число блоков тем больше сдвиг спектра. Если обратиться к спектру кодовой последовательности (3.9), то можно показать, что спектр кодовой последовательности с имеет максимум при а спектр кодовой последовательности с имеет максимум при Оба максимума равны Соответственно максимум спектральной плотности мощности равен №. У остальных последовательностей максимумы спектров лежат между значениями При исследовании спектральных свойств системы Уолша целесообразно использовать двоичное (или диадное) упорядочение кодовых последовательностей. Это показано в табл. 4.5.

В первом столбце табл. 4.5 дан номер последовательности в десятичной системе счисления, а в трех последующих — в двоичной системе. Кодовые последовательности содержат младший разряд справа, а число символов в них равно В пятом

Таблица 4.5. Диадное представление системы Уолша

столбце указано число блоков а в шестом — номер строки матрицы Адамара, приведенной в табл. 4.3. Используя последовательности можно представить спектр кодовой последовательности в следующем виде:

где определено (4.36). Подставляя в (4.39), можно найти спектры кодовых последовательностей Уолша.

Сигналы Уолша рис. 4.3 имеют много общего с тригонометрическими функциями. Особенно это видно при сравнении положений нулей спектров сигналов Уолша и нулей спектров тригонометрических функций. Общность между ними подчеркивалась неоднократно. В отличие от тригонометрических функций, сигналы Уолша позволяют широко и просто использовать цифровую технику при формировании и обработке, что делает их перспективными. Как было отмечено корреляционные свойства систем Уолша нельзя признать удовлетворительными. Но на базе систем Уолша можно строить производные системы сигналов, которые обладают хорошими корреляционными свойствами. Производные системы будут рассмотрены в дальнейшем.