15.2. Потенциальные точности измерения времени задержки и частоты

Как следует из теории оптимального приема [1, 63, 73, 75, 93], измерение параметров ШПС (времени задержки, частоты) производится одновременно с его обнаружением, т. е. производится обнаружение и измерение параметров. При наличии помех задача обнаружения сигнала и измерения его параметров является

статистической. В большинстве случаев для получения оценки параметров используется метод максимального правдоподобия (или метод обратных вероятностей). Известно, что при большом отношении сигнал-помеха в точке приема многие оптимальные методы оценки параметров сводятся к методу максимального правдоподобия. Согласно методу максимального правдоподобия вычисляется отношение правдоподобия или, что эквивалентно, апостериорная вероятность того, что в принятом приемником колебании случайные параметры имеют вполне определенные значения. Если наряду с измеряемыми случайными параметрами (запаздывание , частота сигнал содержит паразитные, т. е. не подлежащие измерению, случайные параметры (например, случайная начальная фаза), то по этим паразитным параметрам необходимо произвести усреднение. Известно, что если помеха представляет гауссовский случайный процесс с равномерной спектральной плотностью то апостериорная вероятность того, что в принятом колебании полезные параметры равны определяется выражением

Здесь постоянная величина; модифицированная функция Бесселя нулевого порядка; огибающая напряжения на выходе согласованного фильтра.

Измеряемые параметры содержат постоянные составляющие, т. е. их можно представить в виде: где постоянные составляющие параметров отклонения от постоянных составляющих. Поскольку постоянные ставляющие на оценку параметра не влияют, то в общем случае можно записать:

Далее представляется в виде суммы сигнальной (отклик) и шумовой составляющих и находятся ошибки, к которым приводит действие помехи. Но поскольку помеха вызывает ошибку при измерении параметров, можно предположить, что на вход согласованного фильтра поступает сигнал со случайными параметрами, отличными от тех, для которых фильтр согласован. Такой подход справедлив, если отношение сигнал-помеха в точке измерения намного превышает единицу, т. е. при точных измерениях. Предположив, что фильтр согласован с сигналом, имеющим параметры получим, что для входного сигнала с параметрами огибающая напряжения на выходе согласованного фильтра равна а выражение (15.7) записывается как

где случайные параметры с нулевыми средними значениями, функция неопределенности (ФН) ШПС определяется известным выражением

энергия его комплексная огибающая.

Предположим, что Тогда функцию Бесселя можно приближенно представить в виде экспоненты:

где — постоянная величина.

В дальнейшем исследование апостериорной вероятности (15.10) проводится с учетом свойств модуля комплексной огибающей модуля ФН.

Модуль определяет разрешающие способности и точности измерения времени задержки и частоты. С точки зрения измерения времени и частоты интерес представляет центральная часть ФН - основной пик. Его размеры по оси времени х и оси частот Доплера и определяют разрешающие способности и точности измерений времени и частоты.

Оптимальным методом измерения параметра является такой, при котором отсчет параметра производится по максимуму напряжения на выходе детектора. При наличии помех положение максимума становится случайным. Так как параметр измеряется на выходе согласованного фильтра, где уровень помехи много меньше отклика, то смещение максимума не превосходит размеров основного пика. Но и в этом случае при измерении параметров вследствие действия помех возникают ошибки, которые приводят к неопределенности отсчета точного значения параметра. Ошибки зависят от размеров основного пика, т. е. от вида его поверхности Именно поэтому поверхность и получила название поверхности неопределенности.

Если боковые пики поверхности неопределенности намного меньше основного, то они на процесс измерения непосредственно не влияют. Если боковые пики соизмеримы с основным, то при наличии помех нельзя с большой достоверностью выделить основной пик. В этом случае возникает так называемая неоднозначность отсчета. Из сказанного ясно, что наибольшее значение для измерения параметров имеет основной пик. Это справедливо, если боковые пики относительно малы.

Для наглядности принято изображать ФН в виде топографических диаграмм в изометрических проекциях. На рис. 15.5,а изображена ФН простого сигнала (база причем ось частот Овалом с густой штриховкой внутри представлена область высокой корреляции (центральный пик), в которой производится измерение, а вне этой линии — область слабой корреляции (редкая штриховка). Незаштрихованная часть соответствует

Из рис. 15.5,а видно, что для простого сигнала — прямоугольного радиоимпульса — границы области сильной корреляции

определяются по оси времени длительностью импульса Т, а по оси частот — величиной Следовательно, чем больше длительность импульса, тем больше размер области сильной корреляции по оси времени, но тем меньше ее размер по оси частот и наоборот. Таким образом, для прямоугольного радиоимпульса разрешающие способности по времени и частоте зависят друг от друга. При этом с увеличением одной из них другая уменьшается. Отметим, что такая взаимосвязь характерна для всех простых сигналов.

Рис. 15.5. Функции неопределенности простого сигнала и

Если используются ШПС, то можно повысить разрешающую способность по времени благодаря сжатию их во времени. Действительно, ширина основного пика АКФ ШПС по оси времени равна приблизительно При постоянной длительности сигнала Т, расширяя можно получить малую длительность центрального пика по оси времени. В то же время ширина центрального пика по оси частот определяется длительностью сигнала и равна Поэтому, увеличивая базу можно получить центральный пик малых размеров. Топографическая диаграмма для этого случая приведена на рис. 15.5, б. Чтобы исключить неоднозначность отсчета, желательно иметь нулевые боковые пики в квадрате со сторонами Вне этого квадрата боковые пики равны нулю, поскольку полная длительность отклика не может превышать а смещение спектра сигнала по частоте на приводит к тому, что спектр сигнала не попадает в полосу пропускания приемника.

Однако получить тело неопределенности с нулевыми боковыми лепестками невозможно, так как существует ограничение, которое не позволяет произвольно менять форму тела неопределенности. Это ограничение получило название принципа неопределенности. Суть его заключается в том, что объем, заключенный между поверхностью и плоскостью не зависит от формы сигнала и равен единице (2.34). Таким образом, объем тела неопределенности является постоянным. Поэтому при одновременном измерении времени и частоты необходимо стремиться к такой форме тела неопределенности, при которой все боковые пики равны и равномерно распределены в квадрате так как в этом случае они минимальны по амплитуде. Тело неопределенности

такой формы изображено на рис. 15.6. Узкий основной пик стоит на основании высотой При равномерном распределении боковых пиков Для ШПС с базой с боковыми пиками можно не считаться. Поэтому в задачах обнаружения ШПС и измерения их параметров учитывают только область сильной корреляции — центральный пик

Рис. 15.6. Тело неопределенности ШПС

Возвращаясь к апостериорной вероятности (15.10), следует отметить, что при малой помехе ошибки измерений малы и всегда меньше размеров центрального пика тела неопределенности. Поэтому, рассматривая только область сильной корреляции, поверхт ность неопределенности в окрестности точки максимума приближенно можно представить параболоидом вида

где вторые частные производные [4], определяемые в точке

Формула (15.11) представляет ряд Тейлора, в котором слагаемые третьего и более высокого порядка малости отброшены. В общем случае в формулу (15.11) может входить линейный член, зависящий от Это будет уточнено в дальнейшем. Подставляя (15.11) в (15.10), получаем

Сравнивая выражение (15.12) с двумерным нормальным законом распределения [55], имеющим вид

получаем, что апостериорная вероятность (15.12) является двумерным нормальным законом распределения случайных величин Введя обозначение отношения сигнал-помеха на выходе согласованного фильтра

дисперсии, второй центральный смешанный момент и коэффициент корреляции случайных величин запишем в следующем виде:

Отметим, что при определении было использовано соотношение

Отметим общие особенности соотношений (15.15) — (15.17). Из них следует, что чем больше отношение сигнал-помеха тем меньше дисперсии оценок. Дисперсии оценок зависят от формы тела неопределенности, так как в (15.15) — (15.17) входят частные производные выражения (15.11). При заданных дисперсии оценок являются минимальными, если При этом равна нулю вторая смешанная производная и смешанная дисперсия Поэтому оценки оказываются независимыми. показано, что вторая смешанная производная для сигналов с симметричной частотной модуляцией и для ФМ сигналов. Положим Если воспользоваться спектральным определением ФН

то можно показать, что

Правая часть с точностью до постоянного множителя определяет квадрат эффективной ширины спектра сигнала. Переходя к линейным частотам, можно записать, что

где эффективная ширина спектра, определяемая следующим соотношением

Для ШПС с равномерным спектром сосредоточенным в полосе частот шириной из (15.22) получаем

определение (15.22) дает такое значение которое соответствует ШПС с равномерным спектром в этой полосе частот.

Аналогично, используя определение ФН через комплексную огибающую (15.9), можно найти, что

где эффективная длительность ШПС определяется соотношением, аналогичным (15.22):

Для ШПС с прямоугольной огибающей и длительностью Т эффективная длительность

Используя приведенные соотношения (15.21), (15.23), полагая и обращаясь к линейной частоте из формул (15.15), (15.16) находим дисперсию оценки времени задержки

и дисперсию оценки частоты

где величина Таким образом, для повышения точности измерения обоих параметров необходимо повышать отношение сигнал-помеха Кроме того, для повышения точности измерения времени задержки надо увеличивать ширину спектра сигнала а для повышения точности измерения частоты надо увеличивать длительность сигнала Очевидно, что одновременное увеличение и Т, и возможно только для ШПС, база которых Чем больше база ШПС, тем большая точность измерения времени задержки и частоты. Вместе с тем, необходимо помнить, что для точных измерений, во-первых, надо иметь высокое отношение сигнал/помеха на выходе измерителя и, во-вторых, система поиска ШПС должна «вывести» измеритель в область сильной корреляции — в центральный пик ФН. Если отношение сигнал-помеха 1, то измерения бессмысленно проводить, можно заняться просто гаданием о значении параметра. Поэтому синхронизатор должен обеспечить высокое отношение сигнал-помеха на выходе измерителя. Если же измеритель не попадает в область сильной корреляции, то он производит измерения по шумам и от таких измерений тоже можно отказаться. Эти факторы полностью определяют и структуру синхронизатора, и его характеристики. Рассмотрим сначала вопрос о выборе необходимого отношения сигнал-помеха в ШСС на выходе измерителя.