7.4. Помехоустойчивость m-ичных систем связи

При передаче информации алфавитом сигналов, объем которого и когерентном приеме наибольшую помехоустойчивость обеспечивают симплексные (или равноудаленные, или трэнеортогональные) сигналы. Такие сигналы обладают интересным свойством. Если произвольный сигнал трактовать как точку в -мерном пространстве, то симплексные сигналы соответствуют вершинам -мерной геометрической фигуры — симплекса. Вершины максимально и одинаково удалены друг от друга, т. е. симплексные сигналы максимально отличаются друг от друга, что является причиной максимальной помехоустойчивости. Из-за максимального отличия по форме коэффициент корреляции таких сигналов

не зависит от номеров и равен

При коэффициент корреляции мало отличается от нуля и поэтому ортогональные сигналы, у которых обеспечивают почти такую же помехоустойчивость, что и симплексные сигналы. Если все коэффициенты корреляции равны между собой, т. е. то доказано следующее равенство для вероятности ошибки с равными коэффициентами корреляции

где отношение сигнал-шум, приходящееся на один -ичный сигнал,

— длительность -ичного сигнала, вероятность ошибки при отношении сигнал-шум и коэффициенте корреляции вероятность ошибки при ортогональных сигналах. Выражение (7.20) показывает, что помехоустойчивость при равнокоррелированных сигналах будет такой же, как и при ортогональных, но с измененным отношением сигнал-шум, равным Для симплексных сигналов (7.19) равенство (7.20) приобретает вид

При множитель и ортогональные сигналы обеспечивают такую же помехоустойчивость, что и симплексные.

При когерентном приеме ортогональных сигналов вероятность ошибки определяется отношением:

где — интеграл вероятности (7.5).

При некогерентном приеме ортогональных сигналов

где модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.

Интегралы в (7.23), (7.24) в элементарных функциях не выражаются, но они достаточно подробно табулированы. Отметим, что при больших различие между когерентным и некогерентным приемом незначительно.

При отношении сигнал-шум известны приближенные формулы:

для когерентного приема из (7.23)

для нокогерентного приема из (7.24)

При из (7.23), (7.24) получаем точные равенства и (7.14).

На рис. 7.6 представлены кривые вероятности ошибки при когерентном и некогерентном приемах ортогональных сигналов для (двоичные и Для когерентного приема кривые изображены сплошными линиями, а для некогерентного — штриховыми. Кроме того, для сравнения на рис. 7.6 представлена кривая вероятности ошибки при приеме двух противоположных сигналов (кривая Кривые рис. 7.6 отображают зависимости вероятности ошибки от отношения сигнал-шум приходящиеся на одну двоичную единицу информации. Поскольку в формулах (7.23), (7.24) используется отношение сигнал-шум то согласно (7.3) можно заменить на по формуле

Соотношение (7.27) позволяет рассчитать вероятности ошибки при любом как функции Отметим, что выбор в качестве аргумента при сравнении вероятностей ошибок с различным является наиболее обоснованным, так как содержит основные энергетические и информационные характеристики системы связи: мощность сигнала на входе приемника которая пропорциональна мощности передатчика; спектральную плотность мощности шума и скорость передачи информации

Из рис. 7.6 видно, что с увеличением объема алфавита помехоустойчивость системы связи растет, так как при вероятность ошибки уменьшается. Поскольку -ичные системы связи обеспечивают большую помехоустойчивость при то они дают возможность передавать информацию с заданной помехоустойчивостью и при меньшем значении отношения сигнал-шум Из рис. 7.6 следует, что при требуемое значение тем меньше, чем больше

Рис. 7.6. Вероятности ошибки в -ичной системе связи

Таким образом, -ичные системы связи обеспечивают выигрыш в отношении сигнал-шум по сравнению с двоичными системами связи. При постоянных значениях выигрыш в отношении сигнал-шум эквивалентен согласно (7.10) выигрышу в мощности сигнала Будем называть его выигрышем по мощности.

Таким образом, -ичные системы связи являются более помехоустойчивыми, чем двоичные, а при заданной вероятности ошибки обеспечивают выигрыш по мощности, поэтому применение в системах связи алфавитов с объемом имеет практическое значение.

Преимущество -ичных СПИ перед двоичными известно давно. Оно полностью согласуется с общими положениями теории информации. Отметим, что приведенный результат (рис. 7.6) по сути подтверждает основную теорему Шеннона [2] о пропускной способности канала. Однако в настоящее время известно лишь несколько примеров систем связи с алфавитами, объем которых Многочисленные исследования теории кодирования не привели пока к реальной возможности создания СПИ с очень большими алфавитами. Это во многом объясняется наличием порогового эффекта в -ичных системах связи.