4.2. Полный код

Известны пределы любой большой системы так называемые полные коды. Полный код — это система сигналов, состоящая из всех сигналов данного класса при заданном алфавите символов и числе символов в сигнале. Алфавит символов — число различных символов, из которых состоит сигнал. Полный код нельзя увеличить, он включает в себя все возможные сигналы.

Поскольку любая система ШПС является подмножеством своего полного кода, то она должна обладать некоторыми общими свойствами полного кода. Причем чем больше система, тем ближе она по своим свойствам к полному коду. Именно поэтому исследование свойств полных кодов имеет принципиальное значение для изучения корреляционных свойств больших систем ШПС.

Полный код ФМ сигналов содержит

кодовых последовательностей, длина кодовой последовательности, объем алфавита символов.

Полный код является группой (в алгебраическом смысле) и обладает свойством ортогональности. Упорядочим последовательности полного кода. Подставим в соответствие каждой кодовой последовательности число записанное в -ичном счислении, причем а объем полного кода

Представим полный код в виде матрицы

Каждая кодовая последовательность является столбцом матрицы Всего столбцов а строк Каждый столбец получается из предыдущего вписыванием снизу 1, а первый столбец состоит из нулей. Например, при имеем следующие матрицы:

В соответствии с правилом построения и примерами (4.6) матрицу можно представить в символическом виде следующим образом:

Здесь верхняя строка содержит столько символов сколько содержится столбцов в матрице Из приведенных примеров (4.6) и символической записи (4.7) видно, что каждая строка матрицы содержит целое число периодов. Число периодов строки равно Длина периода равна

Рассмотрим суммы вида

где знак операции в группе. Ортогональность полного кода заключается в том, что имеет место равенство:

Из периодичности строк матрицы при (4.5) следует, что

Среднее значение произведения любого числа несовпадающих строк матрицы (4.5)

ВКФ ФМ сигналов с номерами согласно (3.22) определяется следующим образом:

В полном коде групповыми свойствами обладают и ВКФ (4.10) при поскольку является элементом алфавита, где является одним из значений и некоторой функцией от т. е. Подставляя От в (4.10) и отбрасывая индексы получаем

В (4.11) суммирование производится по всем число слагаемых равно причем Последовательность состоящая из символов, является одной из последовательностей полного кода объема Поэтому сумма

является одной из возможных сумм полного кода. Сумма называется весом кодовой последовательности. Число всех весов равно но число разных весов будет гораздо меньше. Поскольку вес (4.12) и значение связаны соотношением

то знание распределения весов полного кода позволяет определить статистические характеристики КФ. Максимальное число различных весов равно где биномиальный коэффициент.

Определим начальный момент периодической

где объем полного кода; суммы по с множителями означают усреднение периодических КФ по всем последовательностям полного кода, а сумма по с множителем означает усреднение по сдвигам.

Заменяя в (4.14) КФ на вес согласно формуле (4.13), получаем

Доказано, что среднее значение а дисперсия

Для апериодических КФ среднее значение а дисперсия

Полный код с основанием манипуляции называется полным двоичным кодом. Хотя он является частным случаем полного произвольного кода с полный двоичный код имеет большое значение по следующим причинам. Во-первых, многие применяемые системы сигналов являются двоичными — они позволяют широко использовать цифровую технику для формирования и обработки. Во-вторых, для полного двоичного кода получены некоторые дополнительные результаты, которые для в настоящее время не известны.

Положим, что двоичный алфавит является мультипликативной двоичной группой, т. е. состоит из символов 1 и —1. Поэтому символы кодовых последовательностей равны 1 или —1. Периодическая КФ содержит постоянное число слагаемых в своей сумме. Пусть оно равно Произведение при любых равно или 1, или —1. Вес кодовой последовательности (4.12) в таком случае равен разности между суммой 1 и суммой —1. Пусть число 1 в сумме (4.12) равно а число —1 равно так как всего слагаемых в В результате вес

причем Если то если то Шаг изменения веса равен 2. В соответствии с (4.13) КФ, если она содержит слагаемых, выражается следующим образом:

Число кодовых последовательностей, имеющих данный вес, т. е. заданное число 1, находится как число сочетаний из элементов по и равно Из (4.18)

Общее число кодовых последовательностей равно Вероятность появления кодовой последовательности с данным весом, т. е. с заданным значением КФ,

Распределение (4.20) является биномиальным. Следует учитывать только, что вес изменяется с шагом, равным 2. Так как КФ и вес связаны соотношением (4.19), то распределение (4.20) однозначно определяет распределение КФ.

Так как дисперсия равна то биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным

Соответственно для апериодических КФ приближенно можно пользоваться нормальным распределением с дисперсией (4.17).

На рис. 4.1, а вертикальными линиями показано распределение вероятностей для апериодических КФ. На рис. вертикальными линиями представлено распределение весов в более крупном масштабе. Кривые рис. 4.1, а и изображают нормальный закон распределения

с дисперсией Такая дисперсия веса кодовой последовательности соответствует дисперсии апериодической Из рис. 4.1 видно, что наибольшие отклонения распределения вероятностей от нормального закона имеют место в центре и на краях.

Хотя такими отклонениями в некоторых случаях пренебрегать нельзя, но в шинстве случаев можно считать распределение весов нормальным с плотностью вероятности (4.22). Переходя от весов к значениям КФ, получаем

Рис. 4.1. Распределение апериодических КФ полного двоичного кода

Точное выражение распределения апериодических ВКФ полного кода приведено в работе [34]:

Так как среднее значение то четвертый начальный момент полного кода

Поскольку дисперсия равна то коэффициент эксцесса

Предельное значение при Таким образом, предельное значение коэффициента эксцесса полного кода больше нуля.

Положительное значение коэффициента эксцесса свидетельствует о том, что функция распределения должна быть «обострена» в области малых значений относительно нормального закона (должна быть больше при малых и иметь большие значения на краях (при Из рис. 4.1 видно, что характер распределения вероятностей соответствует положительному значению коэффициента эксцесса у. Таким образом, можно считать, что характер распределения вероятностей при различных будет близок к представленному на рис. 4.1,

Среднее значение КФ полного кода равно нулю, а дисперсия Расчеты, проведенные для различных систем сигналов, показали, что их дисперсии близки к дисперсии полного кода. В табл. 4.1 приведены данные для систем ФМ сигналов двух подклассов, которые будут более подробно рассмотрены в дальнейшем: системы Уолша и производной системы Число последовательностей равно числу символов и указано в первом столбце табл. 4.1. Например, для системы и т. п. Производная система для определенного была получена из системы Уолша путем посимвольного перемножения каждой последовательности на производящую нелинейную последовательность с тем же

Во втором столбце табл. 4.1 приведено предельное среднеквадратическое значение а в третьем — среднеквадратическое значение реальных систем. Сравнивая результаты второго и третьего столбцов, видим, что они близки.

Если ввести переменную т. е. то

Зависимость (4.26) приведена на рис. 4.2. Точками снизу вверх отмечены значения у для , рассчитанные непосредственно. Звездочками слева направо отмечены значения для производных систем приведенные в четвертом

Таблица 4.1. Характеристики систем ФМ сигналов

Рис. 4.2. Коэффициент эксцесса

столбце табл. 4.1. Как видно из рис. 4.2, коэффициент эксцесса производных систем близок к но все меньше, что является, несомненно, достоинством таких систем сигналов по сравнению с системами Уолша, у которых