4.12. Оценки апериодических ВКФ

Оценки ВКФ необходимы как для определения взаимного влияния абонентов в системах связи, так и для оценки объема больших систем. Кроме того, оценки ВКФ служат для определения полезности тех или иных алгоритмов построения систем сигналов.

Исторически первой оценкой КФ была оценка, полученная из условия ограниченности объема тела неопределенности. Поскольку в дальнейшем была доказана ограниченность объема взаимной функции неопределенности (см., например, [5]), то из условия ограниченности объема получается следующая оценка среднеквадратического значения ВФН при усреднении по времени и по частоте [5]:

Эта оценка в раз меньше, чем оценка для случайных последовательностей. При выводе (4.138) было положено, что база ФМ сигнала равна Среднеквадратическая оценка апериодических ВКФ для случайных последовательностей одна из наиболее характерных для ФМ сигналов, поскольку многие иные оценки пропорциональны ей.

Оценка (4.138) по сути является интегральной, поскольку производится усреднение по времени и по частоте. Можно найти несколько оценок КФ на основе других интегральных равенств, справедливых для корреляцйонных функций. Одним из наиболее распространственных является интегральное равенство Сталдера — Кана [5]:

Левая часть равенства равна сумме произведений квадратов значений ВКФ, а правая — сумме произведений значений АКФ. Обозначим среднеквадратическое значение ВКФ через Из (4.139) получаем

Равенство (4.140) соответствует тому, что симметричная функция и Из этого равенства можно получить

ряд оценок. Сначала допустим для простоты, что при В этом случае

что совпадает с оценкой среднеквадратического значения ВКФ случайных последовательностей. Преобразуем равенство (4.140), используя неравенство Коши — Буняковского,

Применяя неравенство (4.142) к (4.140), получаем две оценки: сверху

снизу

Найдем статистические характеристики величины Поскольку можно полагать, что АКФ в правой части (4.140) распределены по биномиальному закону с нулевым средним значением и дисперсией то среднее значение

а дисперсия

Отношение

убывает с ростом Поэтому при 1 среднее значение (4.145) достаточно точно характеризует величину Оценка (4.145) совпадает с дисперсией КФ случайных последовательностей. Поскольку отклонение от среднего значения (4.145) с ростом уменьшается, то в неравенствах (4.143), (4.144) приближенно квадраты значений АКФ можно заменить их дисперсиями В результате из неравенства (4.143) получаем, что

а из (4.144)

Следует отметить, что минимально возможное значение модуля пика КФ равно или или 0. Наличие в знаменателе правой части (4.149) величины свидетельствует об «усреднении» пиков с амплитудами, равными и 0. Минимально возможное

значение ВКФ (4.149) может иметь место только для дополнительных последовательностей, у которых для

Необходимо подчеркнуть, что интегральные оценки дают представление только о среднеквадратическом уровне ВКФ и не позволяют судить о максимальных пиках. Проблеме минимизации максимальных пиков КФ, в том числе и синтезу ФМ сигналов минимальными пиками, посвящено большое число работ. Многочисленные исследования лучших из известных систем ФМ сигналов показали, что верхняя и нижняя экспериментальные оценки распределены в интервале от

Для оценки максимальных пиков можно использовать вероятность превышения пиком ВКФ допустимого уровня. Если положить вероятность превышения то приближенно можно получить следующую вероятностную оценку максимальных пиков

где а «1,6. Как видно из (4.150), максимальные пики растут относительно среднеквадратического значения как с ростом

Оценки максимальных пиков можно получить с помощью метода моментов, развитого в работе [43]. Он заключается в следующем. Допустим, ВКФ имеет пиков со значением тиков значением причем Момент порядка, по определению,

С ростом второе слагаемое в правой части (4.151) становится существенно меньше, чем первое. Поэтому при из (4.151)

Если можно найти значение момента каким-либо косвенным образом, то в соответствии с (4.152) можно найти и оценку максимальных пиков. В работе [43] показано, что оценки КФ определяются следующими выражениями:

сверху

снизу

Следует отметить, что оценки (4.153), (4.154) получены на основе второго и четвертого момента. Если будут найдены моменты более высокого порядка, то они позволят получить более точные оценки. Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что в

настоящее время не решена основная задача в теории оценок КФ не создан метод нахождения оценок максимальных пиков для конкретной системы сигналов по структурным свойствам сигналов.