Главная > Системы связи с шумоподобными сигналами
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3.7. Последовательности максимальной вероятности

ПМВ обладают статистическими характеристиками корреляционных функций, близкими к характеристикам М-последовательностей, число их может быть большим и для них можно предложить регулярное правило формирования. Сначала обратимся к свойствам случайных последовательностей.

Статистические свойства случайных последовательностей. Известно, что с ростом числа символов в последовательности дисперсия боковых пиков АКФ уменьшается как , а максимальные пики при заданной вероятности уменьшаются как

В результате с ростом N АКФ случайной последовательности стремится к идеальной в виде дельта-функции.

Известно также, что сигналы, у которых АКФ обладают малыми боковыми пиками, содержат оптимальное число блоков

Блок — последовательность символов одного знака. Формула (3.81) справедлива для нечетных Для четных или Доказано, что (3.81) является средним значением числа блоков в последовательности из символов. Так как распределение числа блоков описывается биномиальным законом, то (3.81) является также и наиболее вероятным значением числа блоков. Блоки могут быть единичными (состоят из одного символа), двойными (состоят из двух символов) и т. д. Обозначим число блоков одинаковой длины через причем длина блока равна числу символов в нем. Например, число единичных блоков. Для последовательности длины состоящей из М блоков, имеют место два равенства:

где длина максимального блока.

Считая постоянной величиной, усредняя обе части равенства (3.83), обозначая среднее значение через получаем

Среднее значение числа блоков длиной может быть найдено следующим образом. Положим, что положительные и отрицательные символы последовательности равновероятны. При этом вероятность появления блока длиной (т. е. состоящего из символов) равна

Если последовательность имеет блоков, то

К этому же результату можно прийти, учитывая взаимосвязь между числом символов в последовательности и числом блоков. При наличии блоков в последовательности имеется перемена знака. Вероятность перемены знака равна отношению Вероятность сохранения знака равна Вероятность получения блока длиной будет равна вероятности сохранения знака на позиции, а затем перемены знака, т. е.

Подставляя (3.81) в (3.87), получаем (3.85). Здесь следует отметить одну математическую особенность полученных результатов. Если подставить (3.86) в точное равенство имеет место

лишь при необходимо учитывать блоки любой длины, хотя вероятность появления больших блоков уменьшается с их величиной согласно (3.85). Выбор значения для последовательностей конечной длины будет рассмотрен в дальнейшем.

В табл. 3.17 приведены значения вероятностей появления блоков различной длины в случайных двоичных последовательностях, полученных из десятичных случайных последовательностей. Были взяты выборки из 800 символов.

Таблица 3.1.7. Вероятности появления блоков длины к

Как следует из данных табл. 3.17, эмпирические значения вероятностей, полученные для последовательностей конечной длины, близки к теоретическим значениям (3.85).

Таким образом, в типичной или «средней» случайной последовательности число символов должно удовлетворять равенству (3.82), общее число блоков — равенству (3.81), а число блоков длины равенству (3.86). Число таких последовательностей определяется полиномиальным законом

где аргумент характеризует блоковую структуру последовательности. Например, при имеем При этом число последовательностей, удовлетворяющих (3.85), составляет, примерно, 1/80 часть от общего числа последовательностей длины

Для типичной последовательности, удовлетворяющей равенствам (3.81) — (3.83), можно постулировать следующее утверждение: статистические характеристики их АКФ и ВКФ будут лучше, чем статистические характеристики полного кода, поскольку типичные последовательности являются наиболее вероятным представителем случайной последовательности с хорошими корреляционными свойствами. Именно на этом постулате и основаны последовательности максимальной вероятности.

Свойства последовательностей максимальной вероятности. ПМВ формируются из блоков, длины которых и число выбираются из условия

где длина блока, для которого и из Минимальные значения 6 для равны 0 и 1.

Таким образом, единичные блоки должны составлять примерно половину от общего числа блоков, двойные — четвертую часть, тройные — восьмую часть и т. д. При этом блоки чередуются в порядке уменьшения их вероятностей. На первом шаге из блоков выбирается один из наиболее вероятных блоков, т. е. единичный блок, начальная вероятность которого согласно (3.85) равна 0,5. После этого остается блоков и вероятности появления оставшихся блоков изменяются. Для единичных блоков она станет меньше и будет

а для других блоков возрастет и станет

второй индекс означает номер шага формирования последовательности.

На втором шаге выбирается единичный блок, если или двойной блок, если Эта процедура повторяется на каждом шаге, при котором выбирается блок с максимальной вероятностью из оставшихся.

Таким образом, на шаге выбирается блок длиной для которого вероятность максимальна. Если блоки различной длины обладают одинаковыми вероятностями, то порядок выбора этих блоков не имеет значения. Следует отметить, что при формировании последовательности символы каждого последующего блока имеют противоположную полярность по сравнению с символами предыдущего блока.

Для полного определения ПМВ необходимо найти значение Поскольку ПМВ, кроме равенств (3.81), (3.89), должны удовлетворять равенству (3.82), то длина максимального блока должна дополнять сумму до значения Например, если то при этом блока длиной быть не может, а должен быть блок длиною т. е. Следовательно,

Число ПМВ определяется числом вариантов чередования блоков разной длины при совпадении их вероятностей и числом таких совпадений. Так, при совпадении вероятностей различных блоков количество вариантов их чередования равно Q. Следовательно,, общее число последовательностей L можно определить по формуле

где число различных длин блоков, число различных длин блоков таких, для которых число различных длин блоков таких, для которых и т. д.

Для случая или для формула (3.93) может быть представлена в виде

где определяется согласно (3.81).

По этой формуле при для имеем 96 последовательностей, для последовательностей, для приблизительно последовательностей. Таким образом, с ростом количество ПМВ быстро растет. Кроме того, для каждой последовательности можно построить обратную и инверсную последовательности, а также использовать их циклические перестановки.

В табл. 3.18 приведены 48 последовательностей максимальной вероятности в виде записи длин блоков для

Таблица 3.18. Последовательности максимальной вероятности с

Для ПМВ табл. 3.18 были рассчитаны АКФ и определены статистические характеристики модулей боковых пиков. В табл. 3.19 приведены статистические характеристики . В этой же таблице приведены характеристики М-последовательностей и случайных последовательностей. В табл. 3.19 приведены границы модуля максимального бокового пика среднее и среднеквадратичное значения.

Как следует из табл. обладают статистическими характеристиками, близкими к характеристикам наилучших последовательностей, а именно М-последовательностей. В то же время

Таблица 3.19. (см. скан) Статистические характеристики АКФ ПМВ


число их существенно больше числа М-последовательностей. Процедура формирования ПМВ достаточно просто алгоритмизируется, что позволяет получить регулярные правила формирования.

1
Оглавление
email@scask.ru