10.3. Накопление элементов

Предположим, что сигнал состоит из М элементов. Если действуют помехи, отличающиеся от гауссовского случайного стационарного процесса с равномерной спектральной плотностью мощности («белый» шум), то различные элементы сигнала могут быть поражены помехами по-разному: одни элементы могут быть поражены сильнее, другие слабее. Поэтому элементные отношения сигнал-помеха для различных элементов будут различными. При этом возникает вопрос, как оптимальным образом принимать сигнал при действии подобной нестационарной и коррелированной помехи. Чтобы упростить решение задачи, предположим, во-первых, что элементы сигнала не перекрываются или по частоте (многочастотные сигналы), или по времени (фазоманипулированные сигналы), или и по частоте, и по времени (дискретные частотные сигналы). Это означает, что элементы взаимно-ортогональны. Неперекрыва-ющиеся элементы можно оптимальным образом обрабатывать с помощью элементных согласованных фильтров. Сигнальные составляющие на выходе элементных согласованных фильтров из-за ортогональности элементов также будут ортогональны. Во-вторых, предположим, что составляющие на выходах элементных согласованных фильтров статистически независимы. Такое предположение будет иметь место, если помехи являются гауссовскими случайными процессами из-за ортогональности элементов. В случае воздействия иных помех их возможной коррелированностью можно пренебречь.

При сделанных предположениях прием каждого элемента характеризуется своим элементным отношением сигнал-помеха. Подробно вопрос об обработке элемента рассматривался в предыдущем параграфе. После обработки элементов по отдельности необходимо определить, как производить суммирование (накопление) напряжений с выходов элементных согласованных фильтров. Предположим, что осуществляется прием с полностью известными параметрами. При этом прием элементов и накопление будут когерентными. Считая накопление когерентным, остается выяснить, с какими весовыми коэффициентами необходимо суммировать напряжения с выходов элементных согласованных фильтров. Сначала рассмотрим случай линейного накопления, когда эти напряжения суммируются непосредственно без весовых коэффициентов.

Линейное накопление. Обозначим через напряжение на выходе элементного согласованного фильтра с номером в момент окончания элемента. Оно равно сумме сигнальной составляющей и помеховой составляющей т. е. Положим, что среднее значение помехи а ее дисперсия При этом среднее значение величины а ее дисперсия

Элементное отношение сигнал-помеха

При линейном накоплении на выходе накопителя в момент окончания сигнала

где

Среднее значение а дисперсия

Равенство (10.23) справедливо при статистической независимости случайных величин что было предположено ранее. Обычно это имеет место на практике в большинстве случаев. Отношение сигнал-помеха на выходе линейного когерентного накопителя равно

Проиллюстрируем формулу (10.24) на простом примере. Положим, что все сигнальные составляющие равды а дисперсии помехи принимают два значения причем будем считать, что Предположим, в элементах действует помеха с дисперсией а в оставшихся помеха с дисперсией Соответственно элементные отношения сигнал-помеха (10.19) равны Так как то обозначим

Подставляя впеденные значения в (10.24) и преобразуя, получаем

На рис. 10.3 кривыми 1, 2 представлены зависимости (10.26). Кривая 1 соответствует значениям т. е. отношение а кривая — значениям т. е. отношение Из рассмотрения этих кривых следует, что с появлением элементов, на которые воздействует мощная помеха, суммарное отношение сигнал-помеха резко падает. С увеличением суммарное отношение сигнал-помеха стремится к своему предельному значению; а кривые 1, 2 на рис. 10.3 к значению При отношение

Формула (10.26) получена при условии, что суммарная дисперсия (мощность) более сильной помехи увеличивается пропорционально где Положим теперь, что постоянной является суммарная дисперсия мощной помехи, т. е. положим При этом дисперсия, приходящаяся на один элемент, равна

и уменьшается с ростом Обозначая

из (10.26) получаем

Формула (10.29) справедлива при , так как при дисперсия При отношение по определению. Положим Отношение При этих данных кривая 3 на рис. 10.3 представляет зависимость (10.29). Как видно из рисунка, распределение помехи по элементам не имеет особого значения, так как отношение сигнал-помеха (10.29) остается практически постоянным и малым, а кривая 3 — по сути дела прямая линия.

Рис. 10.3. Зависимость отношения сигнал-помеха от числа пораженных элементов ШПС

Кривые 1, 2, 3 были рассчитаны для случая, когда мощная помеха имела превышение по мощности в т. е. такую помеху нельзя признать чрезмерно мощной. Но даже в этом случае наличие мощной помехи вызывает резкое уменьшение суммарного отношения сигнал-помеха. Если мощная помеха станет более сильной, то возрастет ее влияние на уменьшение суммарного отношения сигнал-помеха.

Резкое уменьшение суммарного отношения сигнал-помеха на начальном участке кривых (рис. 10.3) обусловлено появлением пораженных элементов, которые в общую сумму (10.20) вносят основную долю шумов с большой мощностью. Естественно, что если отказаться от линейного накопления и суммировать напряжения с выходов элементных фильтров с весовыми коэффициентами, то можно уменьшить влияние пораженных элементов на суммарное отношение сигнал-помеха. Очевидно, что чем меньше элементное отношение сигнал-помеха, тем с меньшим весом оно должно входить в общую сумму. Это случай оптимального линейного накопления. Подобная задача решена в теории разнесенного приема.

Оптимальное линейное накопление. При когерентном весовом накоплении

где весовые коэффициенты,

Среднее значение , а дисперсия

Величина

является отношением сигнал-помеха на выходе когерентного весового сумматора. Подставляя (10.31) и (10.33) в (10.34), получаем

В соответствии с отмеченным ранее, необходимо определить веса которые максимизируют отношение сигнал-помеха Эта задача имеет следующее решение:

Таким образом, чтобы получить максимум числителя в (10.35), необходимо выбирать весовые коэффициенты пропорционально сигнальной составляющей и обратно пропорционально дисперсии (мощности) помеховой составляющей на выходе элементного согласованного фильтра.

Максимизация числителя в (10.35) влечет за собой максимизацию отношения сигнал-помеха. Полагая, что условие максимизации (10.36) выполняется, окончательно получаем

В этом случае отношение сигнал-помеха равно сумме элементных отношений сигнал-помеха. Поясним равенство (10.37) тем же простым примером, что и при линейном накоплении. Допустим, что в элементах из М элементное отношение сигнал-помеха равно элементах Подставляя значения в (10.37) и преобразуя полученное выражение, (находим:

где Зависимость (10.38) изображена на рис. 10.3 прямой 4 для отношения При т. е.

С уменьшением отношения отношение (10.38) стремится к следующему пределу:

График зависимости (10.39) изображен на рис. 10.3 прямой 5. Если положить постоянной суммарную мощность помехи то

Зависимость (10.40) для значений представлена кривой 6 на рис. 10.3 (между прямыми 4 и 5).