3. ФАЗОМАНИПУЛИРОВАННЫЕ СИГНАЛЫ

3.1. Общие свойства

Ф азоманипул ированные (ФМ) сигналы представляют собой последовательность радиоимпульсов, начальные фазы которых изменяются по заданному закону. На рис. 2.1, а приведен в качестве примера ФМ сигнал. В большинстве случаев ФМ сигнал состоит из радиоимпульсов с двумя значениями начальных фаз: 0 и . Комплексная огибающая таких ФМ сигналов представляет собой последовательность положительных и отрицательных видеоимпульсов (см. рис. 2.9, а, 2.14, а). Поскольку между ФМ сигналом и его комплексной огибающей — последовательностью видеоимпульсов — существует однозначное соответствие, то обычно и комплексные огибающие (рис. 2.1, г, 2.9, а, 2.14, а) также называют ФМ сигналами. Если сигнал многофазный то комплексная огибающая состоит из действительной и мнимой частей. Поэтому графическое изображение ее более сложное, чем у ФМ сигналов с двумя значениями начальных фаз. Случай МФ сигналов будет рассмотрен особо.

На рис. 3.1 приведен ФМ сигнал, состоящий из прямоугольных импульсов.

Рис. 3.1. Фазоманипулированным сигнал с

Рис. 3.2. Прямоугольный импульс

Практически всегда форма импульсов одинакова и в большинстве случаев она является прямоугольной. Такое предположение о прямоугольности импульсов, образующих ФМ сигнал, справедливо для теоретических исследований. Однако при формировании ФМ сигналов и их передаче по каналам связи

с ограниченной полосой пропускания импульсы искажаются и ФМ сигнал перестает быть таким идеальным, как это представлено на рисунке. Вопрос об искажениях ШПС, в том числе и ФМ сигналов, будет рассмотрен в дальнейшем. Поэтому в настоящей главе предполагается, что импульсы, образующие ФМ сигнал, прямоугольны.

Прямоугольный импульс (рис. 3.2) с единичной амплитудой и длительностью записывается как

Такой импульс в дальнейшем называется единичным прямоугольным импульсом. Он тождественно равен нулю вне отрезка Пусть амплитуда импульса в видео-ФМ сигнале равна +1 или -1, что соответствует начальным фазам 0 или в радио- ФМ сигнале. При таком определении ФМ сигнал (точнее комплексная огибающая радио- ФМ сигнала) записывается следующим образом:

ФМ сигнал (3.2) состоит из прямоугольных импульсов причем -й импульс имеет амплитуду и запаздывает относительно начала координат на время равное суммарной длительности всех предыдущих импульсов. Длительность ФМ сигнала

Кодовые последовательности. Последовательность символов (амплитуд импульсов)

называется кодовой последовательностью. Например, для ФМ сигнала, изображенного на рис. 3.1, кодовая последовательность имеет вид

Кодовая последовательность иногда обозначается как В цифровой технике используют символы 0 и 1. Таблица 3.1 характеризует соответствие между начальными фазами радио-ФМ сигнала амплитудами импульсов (символов кодовой последовательности (3.4) и символами кодовых последовательностей цифровой технике.

Спектры ФМ сигналов. Спектральные свойства ФМ сигнала определяются спектром импульса и кодовой

последовательностью А. Обозначим спектр импульса как По определению (2.5)

Для прямоугольного импульса, изображенного на рис. 3.2,

Спектр состоит из трех сомножителей. Первый, равный то, есть площадь импульса

Таблица 3.1. Соответствие между фазами и символами

Рис. 3.3. Амплитудный и фазовый спектры произвольного ФМ сигнала

Второй множитель в виде функции отсчета характеризует распределение спектра по частоте. (График функции отсчета, в других координатах, приведен на рис. 2.11, б). Третий множитель является следствием смещения центра импульса относительно начала координат на половину длительности импульса

Спектр ФМ сигнала (точнее, спектр комплексной огибающей ФМ сигнала) в соответствии с (2.5) имеет следующий вид:

Сумма в правой части (3.7) является спектром кодовой последовательности А и обозначается как Поэтому спектр ФМ сигнала можно представить в виде произведения, т. е.

где - спектр импульса (3.5) или (3.6),

— спектр кодовой последовательности.

Представление спектра ФМ сигнала в виде произведения (3.8) удобно тем, что можно сначала отдельно найти спектры и

а затем, перемножив их, найти спектр ФМ сигнала. Для ФМ сигналов символы являются действительными величинами. Поэтому амплитудный спектр кодовой последовательности является четной функцией частоты, а фазовый спектр - нечетной функцией, причем

На рис. 3.3, а изображен — четная функция частоты относительно для произвольного сигнала. Штриховой линией представлен амплитудный спектр прямоугольного импульса. На рис. 3.3, б изображен фазовый спектр -нечетная функция частоты относительно Необходимо отметить, что амплитудные спектры кодовых последовательностей реальных ФМ сигналов отличаются от изображенного на рис. 3.3, а наличием значительных флюктуаций. Средняя частота флюктуаций амплитудного спектра что объясняется наличием косинусоидального множителя в правой части (3.10). При значение амплитудного спектра согласно (3.10)

т. е. равно среднему значению амплитуд импульсов. Среднее значение квадрата модуля амплитудного спектра

Поскольку то из (3.13) следует, что

Поэтому флюктуации амплитудного спектра кодовой последовательности реальных ФМ сигналов происходят около среднего значения Флюктуаций амплитудного спектра не будет у тех сигналов, которые обладают идеальной АКФ без боковых пиков (рис. 2.10). Амплитудный спектр таких сигналов

Поэтому чем меньше уровень флюктуаций спектра ФМ сигнала, тем меньше уровень боковых пиков АКФ.

Корреляционные функции ФМ сигналов. ВФН двух ФМ сигналов с номерами в соответствии с (2.18) записывается следующим образом:

В (3.16) - символы кодовых поелед овател ьностей причем — знак комплексной сопряженности — введен для того, чтобы (3.16) была справедлива и для многофазных сигналов. Для ФМ сигналов с двумя значениями фазы Функция единичного импульса. Она определяется согласно (2.21). Если единичный импульс является прямоугольным (3.1), то

где задержка, доплеровский сдвиг частоты.

При зависит только от слагаемых с данным так как соседние слагаемые в (3.16) с на линии равны нулю. Поэтому

причем пределы суммирования определяются следующими равенствами:

Число слагаемых в (3.18) равно при любом Корреляционная функция (3.18) определяет сечения ВФН вдоль линии при изменении от до При Если то ВКФ

При согласно (3.16), (3.17)

где пределы суммирования определены согласно (3.19).

При выводе (3.21) двойная сумма в (3.16) была разбита на внутреннюю с и на внешнюю с изменением от до единичного прямоугольного импульса, определяемая согласно (3.17) при При ВКФ ФМ сигналов определяется соотношением

а при

поскольку .

ВКФ и КФ полностью определяются своими отсчетиыми значениями и Эти значения, отложенные по оси времени через интервалы то, образуют так называемую решетчатую функцию. По известной решетчатой функции можно построить ВКФ или АКФ, если около каждого значения или построить АКФ единичного импульса с амплитудой, равной или

На рис. 3.4, а изображена комплексная огибающая (в данном случае действительная функция времени) ФМ сигнала с единичным прямоугольным импульсом для на рис. 3.4, б - решетчатая функция ФМ сигнала, на рис. 3.4, в — решетчатая АКФ. Тонкими линиями на рис. 3.4, в показана АКФ ФМ сигнала. Для прямоугольных единичных импульсов единичный отклик имеет вид тругольного импульса, поэтому для построения автокорреляционной функции ФМ сигнала достаточно соединить между собой соседние значения

Все предыдущие определения ВКФ и АКФ (3.16) ... (3.23) справедливы для апериодического режима работы передающего устройства, т. е. в том случае, когда излучается и принимается один сигнал. На рис. 3.5, а представлены временные диаграммы для апериодического режима в виде модулей огибающих сигнала и импульсной характеристики фильтра Сдвиг между ними является аргументом Кроме

Рис. 3.4. Фазоманипулированный сигнал и АКФ

Рис. 3.5. Апериодический и периодический режимы работы передатчика

апериодического, возможен также периодический режим, когда сигнал излучается периодически с периодом, равным длительности сигнала (рис. 3.5, б). При периодическом режиме ВКФ

а АКФ -

В (3.24), (3.25) число слагаемых в суммах равно т. е. числу символов в кодовых последовательностях.

Интегральное равенство. Между корреляционными функциями и спектрами кодовых последовательностей существует взаимосвязь, вытекающая из определений (2.18), (3.7), (3.8), (3.9), используя которые, можно показать, что имеет место интегральное равенство

Интегральное равенство (3.26) широко используется при нахождении оценок АКФ и ВКФ.

Если то из (3.26) получаем определение АКФ

При из (3.27) имеем (3.14).

Перейдем к рассмотрению наиболее распространенных ФМ сигналов.