4.4. Коды Велти. Четверичные коды

Они известны двух видов: D-коды и С-коды.

D-коды. Их построение основано на использовании правила присоединения (см. § 3.6). Обозначим последовательность D-кода порядка как

Здесь длина последовательности и ее порядок связаны соотношением номер символа изменяется в пределах а номер последовательности

Число последовательностей, по определению, равно числу символов в последовательности, т. е. Введем последовательность дополнительную для Тогда правило образовапия D-кода с помощью правила присоединения (3.70) записывается как

или как

Последовательности называются парными (а как будет видно из дальнейшего, они являются дополнительными), если Например, если то

Использование правил (4.41), (4.42) проиллюстрируем на примерах. В качестве исходных возьмем дополнительные последовательности для Полагая согласно (4.41), (4.42) имеем

Отметим, что последовательности (4.43) являются дополнительными и парными, т. е. можно записать, что

Введем обозначение символов Для этих символов правило умножения определяется табл. 4.6.

Используя указанные обозначения, из (4.43) получаем

Пусть Согласно (4.41), (4.42) находим, что

При построении последних равенств в (4.45) знак минус перед и определялся согласно табл. 4.6: т. е. операция умножения символов на —1 эквивалентна умножению на

Аналогично, при

Таблица 4.6. Правило умножения -кода

Для других значений метод построения -кода аналогичен рассмотренному в примерах.

Из рассмотрения кодов следует, что парные последовательности являются дополнительными. Например, при последовательности являются парными. Не т. е. они соответствуют правилу присоединения (3.70). Следовательно, они являются дополнительными. Из рассмотренных примеров видно также, что последовательностей -кода можно представить в виде пар дополнительных последовательностей. Обозначив через произвольную пару дополнительных последовательностей, согласно правилу присоединения при опускании индекса правило образования -кода можно записать как:

Если произвести операцию (4.47) для всех пар дополнительных последовательностей порядка то получим те же последовательности порядка что и при использовании правил (3.72), (3.73). Однако чередование последовательностей (иго номеру будет несколько нньш, чем при использовании правил (4.41), (4.42). Поскольку каждая пара порождает четыре новые последовательности, то общее число последовательностей равно

Последовательности, образующие -код, взаимноортогенальны. Условие ортогональности двух последовательностей записывается в виде

Правило построения -кода (4.47) во многом похоже на правило построения систем Уолша (4.27) на основе матриц Адамара. Оно позволяет построить систему сигналов из последовательностей длины т. е. объем системы равен длине последовательности. В состав такой системы входят пар дополнительных последовательностей. Предложены и другие методы построения -кодов [36], в том числе и с использованием многофазных сигналов в качестве исходных [37].

Корреляционные свойства -кода. Рассмотрим -код порядка каждая последовательность которого представляет комбинацию двух дополнительных последовательностей кода порядка т. е. имеет место одна из комбинаций (4.47).

Можно показать, что АКФ любой последовательности -кода при четных сдвигах равна нулю, т. е.

При нечетных значение так как при определяется суммой, число слагаемых которой равно Если все слагаемые входят в сумму с одинаковым знаком, то при

При максимальное значение Следовательно, максимально возможное значение бокового пика АКФ дополнительной последовательности равно 0,5, при этом Расчеты показывают, что это значение практически не достигается.

Значения АКФ при нечетных определяются произведениями символов вида , номера которых подчиняются следующему условию: если четное (нечетное) число, то -нечетное (четное). Это означает, что при нечетном всегда представляет произведение четного символа на нечетный. Если для нечетного выполняется равенство

то и для нечетных Отметим, что условие (4.50) является основным в определении четверичных или Е-кодов [35].

Относительно взаимокорреляционных свойств пар дополнительных последовательностей можно утверждать, что они будут лучше, чем у случайных последовательностей. Обратимся к равенству Сталдера-Кана (2.40), которое для ФМ сигналов имеет следующий вид:

Поскольку для дополнительных последовательностей имеет место равенство (3.64), то произведения АКФ в правой части (4.51) равны 1 при при так как при Подставляя эти соотношения в (4.51), получаем

Так как второе слагаемое в правой части (4.52) всегда больше нуля, то поэтому сумма квадратов значений ВКФ всегда принимает минимальное значение только для дополнительных последовательностей. Если положить, что среднеквадратическое значение АКФ равно и учесть соотношение (4.49), то среднеквадратическое значение ВКФ дополнительных последовательностей

т. е. в раз меньше, чем у случайных последовательностей.

Е-код. Если определен -код, то Е-код определяется через него следующим образом: символ последовательности связывается с символом последовательности соотношением

Правила умножения символов а, приведены в табл. 4.7. Например, для последовательности а, согласно каждой последовательности -кода при

При четном соотношение (4.55) обусловлено свойствами -кода (4.49), поскольку произведения вида определяются элементами в тех квадрантах табл. 4.7, в которых эти элементы отличны от нуля. При нечетном эти произведения равны нулю аналогично (4.50), так как они определяются элементами квадрантов, равными нулю. Отметим, что ВКФ пары дополнительных последовательностей -кода равна нулю при всех значениях удовлетворяющих условию

Таблица 4.7. Правило умножения -кода

Таблица 4.8. Правило умножения С-кода (неортогональность)

В некоторых случаях при перемножении четных и нечетных символов Е-ко-да получить полную ортогональность нельзя. Тогда правило умножения будет отлично от идеального, приведенного в табл. 4.7. Неидеалыюе правило умноножения приведено в табл. 4.8.

Оценка для [35] в этом случае определяется как

Необходимо отметить, что последовательности -кода и -кода получнли, в первую очередь, применение в радиолокации. Но в настоящее время их используют и в системах связи [38]. Они могут найти также применение и в качестве исходных систем при построении производных систем сигналов.