3.9. Амплитудно-фазоманипулированные сигналы

Уменьшения боковых пиков можно добиться, вводя дополнительную амплитудную манипуляцию. Свойства амплитудно-фазоманипулированных (АФМ) сигналов и их АКФ целесообразно определять через спектр кодовой последовательности (3.9). АКФ произвольного ФМ сигнала определяется через спектр кодовой последовательности следующим образом:

где

Положим согласно Подставляя (3.15) в (3.109), получаем

т. е. АКФ состоит из одного основного пика и не имеет боковых пиков. Такая АКФ является идеальной с точки зрения подавления боковых пиков.

Выясним, какие сигналы характеризуются АКФ (3.111). Для полного определения сигнала кроме модуля амплитудного спектра (3.15) необходимо знать (или определить) и фазовый спектр кодовой последовательности Из формулы (3.110) с помощью преобразования Фурье получаем

Если экспонента может быть разложена на конечное число гармоник с периодами, кратными то согласно (3.112) существует конечное число символов Это означает, что боковые пики АКФ сигнала отличны от нуля, или, по крайней мере, всегда так как Поэтому АКФ может быть только у сигналов, состоящих из бесконечно большого числа импульсов. Следовательно, реализовать нельзя. Однако из теории рядов Фурье известно, что амплитуды гармоник при достаточно больших начинают уменьшаться и асимптотически стремятся к нулю. Поэтому символы (3.112), соответствующие краям сигнала, оказываются малыми и начиная с некоторых их можно отбросить. Но при этом из-за конечного числа импульсов в сигнале нарушается свойство (3.111), т. е. боковые пики не являются тождественно равными нулю. Выбирая амплитуду отброшенных импульсов, можно регулировать уровень боковых пиков АКФ: чем меньше по амплитуде краевые импульсы в сигнале, тем меньше боковые пики. Это означает, что для большего подавления боковых пиков необходимо увеличивать длительность сигнала.

Рассмотрим, как преобразуются формулы (3.109), (3.112) при бесконечном

числе импульсов в сигнале. Предположим, что сигнал состоит из бесконечного числа импульсов с амплитудами Обозначим

и допустим, что конечно (это соответствует конечной энергии сигнала). Тогда выражение (3.109) запишется в виде

При значение основного пика Спектр кодовой последовательности

а АКФ и символы определяются через спектр кодовой последовательности (3.114) в соответствии с (3.109), (3.112). При бесконечном числе импульсов величину можно условно определить как «число» импульсов в АФМ сигнале.

Сигнал, которому соответствует идеальная состоит из бесконечного числа импульсов. Отсчет номеров импульсов будем вести от середины сигнала, где Реальный сигнал всегда состоит из конечного числа импульсов которое для простоты расчетов будем считать нечетным. Обозначим Тогда величины представляют номера крайних импульсов в сигнале.

Известно, что при отбрасывании краевых импульсов с в АФМ сигнале максимальные боковые пики АКФ удовлетворяют следующей оценке:

где пик-фактор АФМ сигнала, значение модуля максимального по величине символа, а — среднее значение модулей символов сигнала, отношение модуля первого отброшенного символа с номером к среднему значению а, I — номер производной функции терпящей разрыв непрерывности.

Согласно выражению (3.115) для уменьшения боковых пиков следует, во-первых, уменьшать пик-фактор сигнала к, т. е. делать сигнал более постоянным по амплитуде (равномерным). Отметим, что минимальное значение отношения к равно единице. Во-вторых, уменьшать а — относительную амплитуду первого отброшенного импульса на краях сигнала, т. е. использовать более мелкую структуру на краях сигнала. При такой структуре сигнала увеличивается его длительность (соответственно и сложность согласованного фильтра) без существенного увеличения его энергии, что является недостатком. В-третьих, следует увеличивать номер I производной функции терпящей разрыв.

АФМ сигнал с квадратичным фазовым спектром. Исследования показали, что указанным условиям наилучшим образом удовлетворяет сигнал с квадратичным фазовым спектром

где

Во-первых, при таком выборе устраняются разрывы функций Так как устранить разрыв нельзя, то значения на краях сигнала уменьшаются не быстрее, чем Во-вторых, фазовый спектр, соответствующий (3.116), обладает симметрией относительно точек При этом т. е. вычисление сигнала упрощается. Огибающая такого сигнала изменяется по косинусоидальному закону, т. е. пик-фактор равен, примерно, Символы такого АФМ сигнала определяются следующим выражением:

где интегралы Френеля. Асимптотически можно показать, что основная часть сигнала изменяется следующим образом:

Уровень АКФ такого сигнала определяется оценкой

где а зависит от амплитуды первого отброшенного символа, а число импульсов, оставшихся на краях сигнала. Функция обратная функция к а. Параметры, входящие в связаны уравнением

Рассмотрим пример расчета сигнала. Пусть Для имеем Подставляя в (3.120), получаем Округляем полученный результат до ближайшего четного числа: Для такого по формуле (3.117) был рассчитан сигнал, который изображен на рис. 3.29, а.

Рис. 3.29. АФМ сигнал с квадратичным фазовым спектром и его АКФ

На рис. 3.29, б представлена АКФ рассчитанного сигнала. Максимальный боковой пик автокорреляционной функции равен т. е. меньше заданного. Непосредственный расчет показывает, что

по сравнению с энергией сигнала, имеющего равномерную огибающую при ограниченной пиковой мощности и энергия сигнала с квадратичным фазовым спектром в 2,3 раза меньше, т. е. пик-фактор сигнала равен 1,52, что несколько превышает пик-фактор косинусоиды, равный Недостатком таких сигналов является неравномерность их огибающей.

АФМ сигналы с трехимпульсной АКФ [23]. Если сигнал состоит из конечного числа импульсов, то его АКФ имеет по крайней мере два боковых пика, расположенных на ее краях, поскольку эти пики определяются произведением первого и последнего импульсов и ничем не компенсируются. Известно решение задачи синтеза АФМ сигнала, АКФ которого имеет только эти два неизбежных боковых пика. Решение этой задачи основано на использовании оператора задержки и свойств многочленов.

Пусть сигнал состоит из импульсов и определяется кодовой последовательностью

Формально можно ввести оператор задержки который задерживает импульс на время равное задержке между соседними импульсами. Например, если взять импульс то В таком случае, кодовую последовательность (3.121) можно записать в виде многочлена

каждое слагаемое которого действует на своем временном интервале. Представление последовательности (3.121) в виде многочлена (3.122) позволяет рассматривать как независимую переменную и использовать для решения задач синтеза сигналов свойства многочленов.

Импульсная характеристика согласованного фильтра описывается многочленом

Для того, чтобы определить АКФ, необходимо ввести многочлен

Можно показать, что имеет место соотношение

где

Идеальной является такая автокорреляционная функция, для которой при всех кроме (основной пик) и (два крайних боковых пика). Обозначая

получаем произведение многочленов

соответствующее идеальной АКФ.

Известно интересное представление (3.127) в виде произведения двух многочленов, которые в принятых обозначениях записываются как

или

Перемножая правые части (3.128) или (3.129), можно убедиться в их совпадении с правой частью (3.127), если положить, что Синтез сигнала сводится к определению корней многочленов

Корни являются комплексно-сопряженными. Графически их можно отобразить на комплексной плоскости (рис. . Корни расположены на окружности радиуса а номер I определяет угловое положение корня, поскольку окружность делится на одинаковых секторов.

Рис. 3.30. Кории многочленов задержки,

Рис. 3.31. Случайное распределение корней

В свою очередь корни расположены на окружности радиуса Из всех. корней половина принадлежит многочлену (черные точки на рис. 3.30). Часть из них расположена на внешней окружности, часть — на внутренней. Каждый сопряженный корень расположен на другой окружности и принадлежит многочлену (светлые точки на рис. 3.30).

Синтез сигнала сводится к нахождению радиуса и распределению всех корней между многочленами и Как так и определяют временную структуру сигнала. Например, если то корни полиномов и совпадают, так как располагаются на одной окружности. Поэтому т. е. сигнал будет состоять из двух импульсов, расположенных на его краях. При очень большом вся энергия сигнала сосредоточивается в одном импульсе.

В настоящее время аналитический метод определения и распределения корней еще не найден. С помощью ЭВМ было промоделировано случайное распределение корней на окружности. На рис. 3.31 приведено распределение

корней одного из многочленов при На рис. 3.32, а представлен сигнал, которому соответствует полученное распределение корней (рис. 3.31), а на рис. его АКФ. Подавление боковых пиков на краях АКФ равно 25,64.

Переход от АФМ к ФМ сигналам. Если произвести двоичное квантование по уровню АФМ сигнала (3.117), т. е. получить или —1, то АКФ полученного ФМ сигнала будет обладать большими, все же достаточно малыми боковыми пиками.

Рис. 3.32 АФМ сигнал с трехимпульсной АКФ

Рис. 3.33. АФМ сигнал (а), ФМ сигнал (б), АКФ ФМ сигнала (в)

На рис. 3.33, а изображен АФМ сигнал с квадратичным фазовым спектром при рассчитанный по формулам (3.117). Максимальный боковой пик его АКФ равен 1,5%. На рис. 3.33 представлен соответствующий ему ФМ сигнал, полученный согласно двоичному квантованию, АКФ которого приведена на рис. Максимальный боковой пик такой АКФ равен что несколько меньше Таким образом, при переходе от АФМ сигнала к ФМ боковые пики АКФ увеличились примерно на порядок, но все же остались малыми.

Можно показать, что среднеквадратическое значение боковых пиков АКФ таких ФМ сигналов при оптимальном выборе их параметров

Оценка (3.130) показывает, что подобные ФМ сигналы можно отнести к оптимальным (или минимаксным) ФМ сигналам.