2.3. Корреляционные функции сигналов

Оптимальный прием сигналов осуществляется с помощью согласованных фильтров или корреляторов. Нормированный отклик согласованного фильтра, определяемого с помощью интеграла свертки,

где сигнал на входе фильтра, согласованного с сигналом Энергии сигналов с номерами равны сдвиг сигнала относительно отклика При из (2.16), отбрасывая индексы, имеем

что и определяет нормированность отклика согласованного фильтра.

Выражение в правой части (2.16) определяет интегральную взаимосвязь между сигналами при некотором сдвиге Если переменная величина, то функционал, зависящий как от функций так и от сдвига Именно поэтому называется корреляционной функцией сигналов В зависимости от того, согласован или не согласован сигнал с фильтром, имеется ли дополнительное доплеровское смещение несущей частоты сигнала, корреляционные функции имеют различные представления.

Взаимная функция неопределенности двух сигналов с номерами по определению, выражается через комплексные огибающие сигналов и через их спектры следующим образом:

где сдвиг по времени между сигналами, доплеровский сдвиг частоты. С точностью до малых более высокого порядка нормированный отклик согласованного фильтра связан с соотношением

Взаимокорреляционная функция (ВКФ) является сечением

ВФН при Полагая из (2.18) получаем

Функция неопределенности (ФИ). Если фильтр согласован с сигналом, т. е. то из (2.18), опуская индекс получаем определение ФН

Автокорреляционная функция (АКФ) - сечение ФН при Полагая из (2.21) находим

Из равенства (2.22) видно, что АКФ является преобразованием Фурье энергетического спектра комплексной огибающей сигнала. Согласно обратному преобразованию Фурье энергетический спектр

Рассмотрим пример, иллюстрирующий свойства автокорреляционной функции. На рис. 2.8, а, б изображены простой сигнал в виде прямоугольного импульса и его автокорреляционная функция. Максимум приходится на момент окончания сигнала Это объясняется тем, что является нормированным напряжением на выходе фильтра, согласованного с входным сигналом, максимум которого совпадает с моментом окончания сигнала, т. е. три максимум в соответствии с (2.17).

Для автокорреляционной функции виде треугольного импульса, изображенной на рис. 2.8,б, энергетический спектр (квадрат модуля амплитудного спектра) в соответствии с (2.23) описывается функцией

На рис. 2.9, а изображен фазоманипулированный шумоподобный сигнал (ФМ ШПС) длительностью Т, а на рис. 2.9, б - его АКФ. Элементарный импульс имеет длительность где число импульсов. Для ФМ ШПС, изображенного на рис. 2.9, а Автокорреляционная функция ФМ ШПС (рис. 2.9, б)

состоит из центрального пика с амплитудой 1, размещенного на интервале и боковых пиков, распределенных на интервалах и (то, Т). Амплитуды баковых тиков принимают различные значения, но у сигналов с «хорошими» корреляционными свойствами они малы, т. е. существенно меньше амплитуды центрального пика, равной 1.

Рис. 2.8. Прямоугольный импульс и его автокорреляционная функция

Рис. 2.9. Фазоманипулированиый шумоподобный снгнал и его автокорреляционная функция

Существуют различные оценки боковых пиков как АКФ, так и Но все они описываются одинаковым по форме соотношением. Для ФМ ШПС оценка боковых пиков имеет вид

где а — некоторая величина, зависящая от вида оценки, класса сигнала и, в общем случае, от Для произвольных ШПС с базой В оценка боковых пиков

где как и а в (2.25), — некоторая постоянная величина. Соотношения (2.25), (2.26) определяют одну и ту же зависимость оценок величины боковых пиков от базы ШПС, поскольку у ФМ ШПС пропорционально базе В. Чем больше база, тем меньше боковые пики. В пределе, когда имеет вид треугольного импульса, изображенного на рис. 2.10. Боковые пики на рис. 2.10 не изображены, поскольку при они стремятся к нулю в соответствии с (2.25), (2.26). Длительность центрального пика АКФ также стремится к нулю, поскольку с ростом базы В (числа импульсов N) . АКФ, изображенная на рис. 2.10, называется идеальной, так как она не имеет боковых пиков. Именно такую АКФ имеют длительные реализации шума, что и объясняет название «шумоподобные» сигналы.

Частотная корреляционная функция (ЧКФ) - сечение ФН при Полагая из (2.21) получаем

Из первого равенства (2.27) следует, что ЧКФ является преобразованием Фурье квадрата огибающей сигнала.

Она не зависит от фазовой структуры сигнала, а определяется только квадратом модуля его огибающей. Например, для простого сигнала (рис. 2.8,а) и для ФМ ШПС (рис. 2.9,а) квадрат огибающей равен 1 (рис. 2.11,а). Поэтому ЧКФ сигналов, изображенных на рис. 2.8,а и 2.9,а, одинакова и записывается в виде

Она изображена на рис. 2.11,б. Нули следуют с интервалом .

Максимум и симметрия корреляционных функций. В целом функции (2.16), (2.18), ..., (2.22), (2.27) называются как было отмечено ранее, корреляционными функциями (КФ). Известно, что максимум КФ имеет место лишь при т. е. только в центре ФН (или АКФ и ЧКФ). Максимум

что аналогично (2.17), а

Рис. 2.10. Идеальная АКФ

Рис. 2.11. Квадрат огибающей ФМ сигнала и его ЧКФ

Свойство симметрии КФ заключается в том, что

Из (2.30) следует, что

Объем и среднеквадратические значения ВФН и ФН. Известно, что объем, заключенный между поверхностью, описываемой квадратом модуля ВФН, и плоскостью неопределенности (или просто объем ВФН), равен единице, т. е.

и не зависит от формы и номеров сигналов. Полагая и отбрасывая индексы, имеем результат: объем ФН также не зависит от формы сигнала и равен единице, т. е.

Формулы (2.33), (2.34) позволяют найти эффективные значения ВФН и ФН. Обозначим эти значения через Полагая, что ВФН и ФН приближенно распределены на прямоугольнике со сторонами согласно (2.33), (2.34) можем записать, что Отсюда находим

Из (2.35) видно, что чем больше база сигнала, тем меньше эффективные значения. Формулы (2.33) — (2.35) имеют большое принципиальное значение. Оценка эффективного значения (2.35) совпадает по форме с (2.26), но имеет определенный коэффициент, равный 1/2. Как будет ясно из последующего материала, оценка (2.35) дает нижнюю границу, т. е. наименьшее эффективное значение, поскольку получена при условии равномерного распределения ВФН и ФН на частотно-временной плоскости. На самом деле для реальных сигналов распределение этих функций неравномерно. И поэтому в действительности эффективные значения ВФН и ФН будут больше, чем определяемые в соответствии с (2.35).

Интегральные равенства. Для нахождения оценок КФ широко используют интегральные равенства, связывающие между собой КФ различных сигналов. Одним из общих интегральных равенств является следующее:

(В дальнейшем индекс 1 будет опущен).

Из формулы (2.36) можно найти частные интегральные равенства. Рассмотрим их.

а. Положим Имеем равенство Бакулева

Средняя мощность модуля ФН в сечении является преобразованием Фурье от квадрата АКФ.

б. Положим Имеем равенство Сталдера—Кана

в. Положим Имеем

Из (2.38) следует, что среднее значение квадрата модуля ВКФ сигналов с номерами равно среднему значению произведения их АКФ. Обозначим квадраты эффективных значений ВКФ через

где Т — длительность сигнала, а или Используя неравенство Буняковского-Шварца, из (2.38) получаем

Из (2.40) следует, что для уменьшения эффективного значения ВКФ необходимо уменьшать эффективные значения АКФ.

Использование приведенных интегральных равенств для оценки КФ будет проиллюстрировано в дальнейшем.