5. СИСТЕМЫ ДИСКРЕТНЫХ ЧАСТОТНЫХ СИГНАЛОВ

5.1. Корреляционные функции ДЧ сигналов и число совпадений

Наибольшее распространение на практике получили дискретные частотные (ДЧ) сигналы, обладающие только одним частотным элементом во временной полосе. Примеры таких сигналов приведены на рис. 2.15, б и 5.1.

Рис. 5.1. Частотно-временная матрица

Подобные ДЧ сигналы называются сигналами первого порядка Поскольку только такие сигналы и будут рассматриваться, то в дальнейшем их порядок указываться не будет. Обзор работ по ДЧ сигналам до 1978 г. и их свойства можно найти в [4, 5]. Поэтому в данном параграфе будут приведены только основные свойства ДЧ сигналов [5] и алгоритмы построения систем таких сигналов. Положим, что ДЧ сигнал состоит из М элементов, а все элементы имеют одинаковую форму Пусть номера элементов изменяются от 0 до

— комплексная амплитуда элемента, а положение элемента по частоте определяется сдвигом, равным где символ частотной кодовой последовательности причем при изменении меняется в таких же пределах от 0 до но в определенном порядке.

С учетом сделанных предположений комплексная огибающая ДЧ сигнала

причем здесь и в дальнейшем используется условие

где ширина спектра элемента, его длительность. Смещение соседних элементов по частоте равно а по времени — Как видно из (6.1), изменение аргумента у элемента происходит линейно в соответствии с изменением v, а

смещение до частоте — в соответствии с изменением Например, для ДЧ сигнала, показанного штриховкой на частотно-временной плоскости (см. рис. 5.1), ЧКП .

Известна [5] частотно-временная дуальность ДЧ сигналов. Использование её позволяет расширять применение тех или иных полученных результатов. Чтобы воспользоваться этим, преобразуем комплексную огибающую ДЧ сигнала, используя временную кодовую последовательность к следующему виду:

В формуле (5.3) линейно меняется смещение по частоте в соответствии с изменением а изменение аргумента у элемента происходит в соответствии с изменением символы которой изменяются в тех же пределах от 0 до но в определенном порядке. Например, для ДЧ сигнала, изображенного на рис.

Формулы (5.1), (5.3) и определяют частотно-временную дуальность ДЧ сигналов: в (5.1) отсчет производится по времени (по номерам дискретов а в (5.3) — по частоте (по сдвигу частоты, пропорциональному

Используя определение элемента и условие (5.2), можно получить ВФН сигналов (5.1), (5.3). Полагая и учитывая предположения, сделанные при определении комплексных огибающих (5.1), (5.3), находим, что сигнала с

а ВКФ ДЧ сигнала с ВКП (5.3)

Рассмотрим ВКФ (5.4), (5.5) в дискретных точках, полагая

Подставляя (5.6) в (5.4), (5.5), получаем:

Анализ ВКФ (5.7), (5.8) существенно упрощается, если использовать условия ортогональности элементов, которые сводятся к тому, что различные элементы не перекрываются во времени, а их спектры не перекрываются по частоте. Отметим, что такие условия не могут выполняться одновременно, так как спектр функции, ограниченной по длительности, имеет неограниченную ширину. Но для простоты анализа будем считать, что условия ортогональности имеют место. Поэтому положим, что в дискретных точках частотно-временной плоскости для ФН элемента выполняются условия ортогональности, а именно:

Используя условия ортогональности (5.9) ,и полагая из (5.7), (5.8) получаем оценку модуля ВКФ в дискретных точках

где число решений следующих систем уравнений:

Система (5.11) соответствует ВКФ (5.7), а система (5.12) — ВКФ (5.8). В этих системах А изменяется от до Используя одно из уравнений систем (5.11), (5.12) можно свести эти системы к уравнениям:

Число решений целочисленных уравнений (5.13), (5.14) меньше числа решений соответствующих сравнений по модулю М:

Сравнения (5.15), (5.16) являются частными случаями сравнения

где

Если сравнение (5.17) имеет решений, то оценка (5.10) преобразуется к следующей

причем Если то формально но это будет в том случае, если всюду выполняется условие ортогональности (5.9). Но так как строгой ортогональности во всех дискретных точках добиваться нельзя, то при

Поскольку последовательности состоят из символов, принадлежащих к одному алфавиту ( то при изменении номеров рано или поздно возможно совпадение

кодовых последовательностей, т. е. возможно решение совпадения (5.17). Если при данных имеет место одно решение (одно совпадение), то Увеличение числа решений, во-первых, увеличивает максимальный уровень ВКФ согласно (5.18), во-вторых, ухудшает использование отведенной лолосы частот для сигнала (5.1) с ЧКП, так как спектры некоторых элементов будут совпадать (ухудшает использование отведенного времени и пик-фактор сигнала (5.3) с ВКП, так как будут совпадать некоторые элементы); в-третьих, увеличивает число сигналов системе. Именно третье следствие позволяет строить большие системы сигналов, но при условии Назовем ДЧ сигналы, обеспечивающие одно совпадение оптимальными.