ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

— приближенная замена функции заданной на всем отрезке или, во всяком случае, в отдельных его точках п, функцией некоторого класса, значения которой в точках совпадают с соответствующими значениями функции Точки узлами интерполирования интерполирующей ф-цией. В некоторых случаях требуют, чтобы заданные значения в у. и. принимала не только интерполирующая ф-ция, но и ее производные.

В вычисл. практике применяют интерполирование, когда оперируют с ф-циями заданными в конечном точек отрезка а необходимо узнать для промежуточных значений аргумента. Иногда для известно и аналитическое представление, однако определение каждого значения ее сопряжено с большим объемом вычислений.

В этом случае при нахождении значений ф-ции для многих значений аргумента также применяют интерполирование, т. е. по нескольким вычисленным значениям , строят простую интерполирующую ф-цию, с помощью которой и вычисляют прибл. значения в остальных точках.

Обычно отыскивают в виде обобщенного многочлена

где линейно независимая на система ф-ций и действительные коэфф.

Построение конкретной интерполирующей ф-ции для сводится к отысканию , из условий п

Обобщенный многочлен, обладающий свойством обобщенным интерполяционным многочленом для по заданной системе узлов. Определитель А системы (2) отличный от нуля при любом выборе попарно различных точек отрезка если система ф-ций является системой Чебышева на т. е. если любой обобщенный многочлен (1), у которого хотя бы один из коэфф. отличен от нуля, имеет на не более нулей. Из этого следует существование и единственность обобщенного интерполяционного многочлена

где — определитель, получающийся из заменой столбца столбцом свободных членов системы (2). Если разложить по элементам столбца где алгебр, дополнения элементов столбца определителя , то обобщенный и. м. (3) принимает вид

где обобщенные многочлены, не зависящие от , целиком определяющиеся выбором системы у. и. Из выполнения условий (2) следует, что

Чаще всего на практике применяют интерполирование алгебр, многочленами (параболическое интерполирование), т. е. многочленами по системе ф-ций . Такой способ приближения основан на гипотезе, говорящей о том, что на небольших отрезках изменения ф-цию можно достаточно хорошо приблизить с помощью параболы некоторого порядка, аналитическим выражением которой и является алгебр, многочлен. Система ф-ций представляет собой систему Чебышева и потому и. м. существует и он единственный. Для его построения нужно прежде всего найти многочлен, который принимает в одной узловой точке значение 1, а во всех остальных — 0. Таким свойством обладает многочлен

он равен 1, если , когда следовательно,

Этот многочлен Лагранжа, его обозначают обычно . В случае равноотстоящих у. и., т. е. когда , он имеет вид

вычисления проведены точно, то совпадает с в у. и. В остальных точках они, вообще говоря, будут отличаться один от другого (см. Округления погрешность, Погрешность, Погрешностей вычислений теория). Исключение представляет только случай, когда является многочленом степени не выше n. В этом случае тождественно совпадают.

Вообще говоря, произвольная ф-ция совпадая с и. м. в узлах интерполирования, может как угодно отличаться от него в остальных точках. Но если обладает на непрерывными производными до порядка и производная дифференцируема на то

где Величина остаточным членом интерполирования или погр. интерполирования (погр. метода). Положив получим

Правая часть выражения (6) для заданной ф-ции зависит только от многочлена который полностью определяется у. и. В некоторых случаях имеется возможность выбирать у. и. по своему усмотрению и увеличивать точность интерполирования. Так, если в качестве у. и. взять нули полинома Чебышева то погр. интерполирования на отрезке дляданной ф-ции f (х) будет наименьшей. В этом случае оценка (6) примет вид

Если интерполирование производится на произвольном отрезке , то его можно перевести в линейной заменой переменного.

Интерполяционная ф-ла Лагранжа (5) имеет ряд недостатков. Ее построение, а также вычисления по ней требуют большой вычисл. работы. Кроме того, если известен построенный по значениям в точках и требуется построить по его значениям в , то все вычисления необходимо проводить заново. В связи с этим, чтобы упростить вычисл. процесс, потребовалось видоизменить и. м. Существуют различные формы записи и. м., которые обладают теми или иными преимуществами. Простой перегруппировкой членов и. м. Лагранжа (5) можно преобразовать в и. м. Ньютона

где

разделенные разности порядка,

разделенные разности 1-го порядка. Многочлен Ньютона имеет перед многочленом Лагранжа то преимущество, что добавление новых у. и. вызывает в ф-ле (7) лишь добавление новых слагаемых без изменения первоначальных.

В случае равноотстоящих у. и. ф-ла (7) упростится. Так, если в качестве узлов взять точки то из интерполяционной ф-лы Ньютона (7) получим т. н. интерполяционную ф-лу Ньютона для интерполирования вперед

где конечные разности порядка, конечные разности 1-го порядка. Если в качестве у. и. выберем точки то аналогично получим интерполяционную ф-лу Ньютона для интерполирования назад

Если в качестве у. и. выберем точки или то из получим интерполяционные ф-лы Гаусса для интерполирования соответственно вперед и назад; полусумма этих ф-л дает ф-лу Стирлинга. Можно указать еще целый ряд интерполяционных ф-л, но все они являются иной формой записи и. м. Лагранжа (конечно, в предположении, что в них использованы одни и те же у. и.). Однако в различных случаях применяют разные ф-лы. Это связано с тем, что обычно удобнее вести вычисления, если при интерполировании сначала используются ближайшие к х узлы, а затем постепенно подключаются все более удаленные. При этом первые члены интерполяционных ф-л дадут основной вклад в искомую величину, а остальные будут давать лишь небольшие поправки. В соответствии с этим, напр., если находится близко к началу отрезка интерполирования, то нужно использовать интерполяционную ф-лу Ньютона для интерполирования вперед, при близких к концу отрезка Ньютона для интерполирования назад, а при интерполировании на середину отрезка Бесселя и Стирлинга.

Параболическое интерполирование весьма удобно: многочлены просты по форме, легко вычисляются, их легко дифференцировать и интегрировать; поэтому его применяют чаще всего. В некоторых частных случаях целесообразно использовать другие виды интерполирования. Так, если интерполируемая ф-ция периодическая, то можно интерполирующую ф-цию искать в классе тригонометрических многочленов, если интерполируемая ф-ция обращается в бесконечность в заданных точках или вблизи них, то целесообразно искать в классе рациональных ф-ций. Наряду с отмеченными преимуществами параболическое интерполирование для равноотстоящих у. и. имеет тот существенный недостаток, что с ростом к-ва узлов погр. замены исходной ф-ции и. м. в точках между узлами не обязательно будет уменьшаться. В окрестности конца интервала интерполирования такая ошибка может возрастать даже до бесконечности. Этого недостатка не имеет тригонометрическое интерполирование: для каждой ф-ции с ограниченной вариацией интерполирующая ф-ция, полученная в виде тригонометрического многочлена по равноотстоящим узлам, неограниченно стремится к заданной ф-ции в каждой точке данного интервала, когда к-во узлов бесконечно возрастает. Это преимущество тригонометрического интерполирования делает его очень важным, т. к. при этом требование периодичности интерполируемой ф-ции не обязательно.

Широко применяют также интерполирование кусочно-аналитическими ф-циями (сплайнами). Наиболее важным представителем этого класса является, по-видимому, кубический сплайн, который на интервалах хзаписывается в виде . Он является кусочно-кубической кривой, которая обладает непрерывными первой и второй производными на всем отрезке интерполирования.

На практике часто возникает задача об отыскании по заданному значению ф-ции значения аргумента. Эта задача решается методами обратного интерполирования. Если заданная ф-ция монотонна, то обратное интерполирование осуществляют путем замены ф-ции аргументом и наоборот и последующего интерполирования. Если заданная ф-ция не монотонна, то записывают для нее тот или иной и. м. по заданным значениям аргумента, приравнивают его значению ф-ции и решают полученное ур-ние относительно аргумента.

Интерполяционные многочлены построены и для случая, когда требуется совпадение в у. и. не только значений интерполируемой ф-ции и и. м., но и их производных до некоторого

порядка. Исследована также задача И. ф. многих переменных, хотя она имеет ряд принципиальных трудностей по сравнению с той же задачей для ф-ций одной переменной, причем для этого случая имеется ряд результатов по опт-ции интерполяционных ф-л с целью уменьшения их погрешностей.

Лит.: Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. М., 1954 [библиогр, с. 321—325]; Коробов Н. М. Теоретикочисловые методы в приближенном анализе. М., 1963 [библиогр. с. 214—216]; Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, т. 1. М., 1966; Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. Справочное руководство. Пер. с англ. М., 1961; Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. Пер. с англ. М., 1972 [библиогр. с. 267—269, 307—309].

Л. И. Березовская, А. И. Березовский.