§ 1. Временные фильтры

Рассмотрим систему, представленную на фиг. 2.1.

Фиг. 2.1.

Обозначим импульсную реакцию системы через и введем линейный оператор, с помощью которого преобразуется в

Нас интересуют только те временные фильтры, которые удовлетворяют условиям, перечисленным ниже.

а) Условие линейности

Оно заключается в том, что сумме двух сигналов на входе соответствует сумма выходных сигналов. Так, например, ПРИ Удвоении входного сигнала выходной сигнал удваивается.

б) Условие инвариантности

т. e. форма выходного сигнала не должна меняться при смещении начала отсчета на оси времени. Условия а и б являются достаточными для того, чтобы в качестве собственной функции оператора L принять функцию в которой t — действительная временная переменная, a s в общем случае может быть комплексной величиной.

в) Условие физической осуществимости

Этим условием исключаются эффекты опережения. Иными словами, оно говорит о том, что реакция не может появиться до тех пор, пока выключатель разомкнут. При использовании интеграла свертки это означает, что, остановив некоторую точку функции во времени, можно заглянуть в прошлое этой функции, но не в будущее.

г) Условие устойчивости

т. e. всякий конечный сигнал на входе системы дает конечный сигнал на ее выходе. Тот факт, что система является пассивной (отсутствуют активные элементы — батареи, генераторы и т. д.), на языке математики выражается как требование, чтобы импульсная реакция была абсолютно интегрируемой.

Первые два условия приводят непосредственно к интегралу суперпозиции

Чтобы рассмотреть два последних условия, необходимо обобщить преобразование Фурье и ввести комплексную частоту Выполняя преобразование Лапласа

для уравнения (2.1), получаем

и обратно

Для понимания дальнейшего весьма существенно то обстоятельство, что лежит в полосе -плоскости для которой определяется Н (s), и что вне этой полосы не существует. Как мы увидим, ширина и положение этой полосы в -плоскости определяются из совершенно независимых физических требований в и г. Рассмотрим, например, контур R — L, приведенный в гл. 1. Различными способами нетрудно показать, что

В этом случае выражение (2.3) принимает вид

так что

где (фиг. 2.2). Перечислим теперь требования, которым должна удовлетворять функция Н (s) в плоскости комплексной частоты в силу условий а — г.

1) Так как

т. е. условие устойчивости подразумевает, что на оси преобразование существует и ограничено.

2) Если вещественно, то

3) Условие физической осуществимости подразумевает, что вещественная и мнимая части связапы преобразованием Гильберта [1].

4) Все полюсы расположены в левой половине плоскости.

Фиг. 2.2.

Последнее обстоятельство является следствием двух условий — условия физической осуществимости и условия устойчивости, указанных выше.

Условие физической осуществимости требует, чтобы область сходимости была по крайней мере в правой половине плоскости. Условие устойчивости требует, чтобы область сходимости включала по крайней мере мнимую ось . О том, что должна представлять собой система при выполнении обоих условий, хорошо сказал Зиберт (см. ), которого мы и процитируем, ибо вряд ли можно сказать лучше:

«Если система и осуществима, и устойчива, то областью сходимости является по крайней мере вся правая половина плоскости . Если же физическая реализуемость не подразумевается, то считать, что

всякая система, у которой функция системы имеет особенности в правой половине плоскости, неустойчива, было бы слишком большим упрощением».

Выбор пути интегрирования в комплексной -плоскости, как было указано ранее, зависит от граничных условий, налагаемых на функцию Грина. Так же как g не является единственно возможной, если точно не определены граничные условия, так и Н (s) и, следовательно, не являются единственными, если, как это продемонстрировал графически (фиг. 2.3) Зиберт, область сходимости точно не определена. При сохранении полюсов слева от мнимой оси, как мы это делали выше, в соответствии с леммой Джордана и теорией вычетов получаем, что для бесконечного полукруглого огибания правой половины плоскости. Форма для определяется полюсами, охватываемыми бесконечной линией, окружающей левую половину плоскости.