§ 5. Теорема о дискретном представлении

Хотя теорема о дискретном представлении использовалась ранее Виттакером в теории интерполяции, в современную теорию связи ввел ее Шеннон.

Фиг. А.2.

По существу, в теореме о дискретном представлении идет речь о точной подгонке кривых для функций, предельные фурье-частоты которых симметричны относительно нулевой частоты. Мы докажем теорему о дискретном представлении и в то же время покажем, какое применение находит теорема свертки. Поскольку нас интересуют в основном оптические явления, целесообразно перейти от координаты времени t к координате х в качестве независимой переменной, измеряемой, например, в миллиметрах.

Теорема о дискретном представлении гласит следующее: «Если функция не содержит частот, больших, чем В периодов на 1 мм, то она полностью определяется путем задания ее ординат в последовательных точках, отстоящих в пространстве друг от друга на расстоянии мм». При доказательстве этой важной теоремы мы будем рассматривать спектр функции как произведение периодической функции и одиночного прямоугольного импульса , так что удовлетворяет условиям теоремы о дискретном представлении (фиг. А.2).

Тогда мы получаем для

Так как — периодическая функция, то

где

Теперь подставим это значение в выражение (А.24), а затем то, что получится, — в выражение (А.23):

Преобразование Фурье для прямоугольного импульса хорошо известно и в конечном итоге дает

Проще говоря, в теореме о дискретном представлении утверждается, что отправителю, находящемуся в Филадельфии и желающему передать сообщение в Бостон, не нужно передавать полностью все значения кривой, а достаточно передать только ординаты кривой, отстоящие друг от друга на расстоянии Если и отправителю, и получателю известна ширина спектра сообщения, то получатель в Бостоне может затем воспроизвести

в совершенстве первоначальное сообщение, построив функции с центром в каждой из дискретных ординат. Из периодичности функции видно, что такие функции дают вклад в сумму только в тех точках, в которых они построены. Представление в виде ряда Фурье просто подчеркивает, что изменения кривой за интервалы, меньшие невелики (фиг. А.З).

Фиг. А.3.

В двумерном случае для теоремы о дискретном представлении нетрудно получить следующее выражение:

где символом обозначена функция . В оптике во многих случаях функции и их спектры обладают круговой симметрией. Теорему о дискретном представлении для таких случаев доказали Габор [6] и Гамо [7].

Прежде чем закончить данный параграф, скажем несколько слов о терминологии. На протяжении всей книги термин корреляция использовался для обозначения средней величины, взятой по времени, пространству или

по ансамблю. Термин же свертка применялся тогда, когда мы имели дело с преобразованием Фурье от произведения двух функций. В случае действительных функций здесь не может быть двусмысленности. Но мы пользуемся термином свертка и для комплексных функций, хотя в действительности свертки функций в этом случае нет, как видно из выражения (А.20). Поэтому начиная с гл. 5 и далее по всей книге передаточная функция при некогерентном излучении описывается как автосвертка комплексной функции апертуры. Наконец, при выводе всех выражений, включая и те, где определялись предел разрешения и интервалы отсчета, предполагалось, что мы имели дело с воздушной средой. Если это не так, то необходимо во все выражения, в которые входит числовая апертура, ввести показатель преломления среды.