§ 4. Неоднородное уравнение

Имея необходимые предпосылки, обратимся непосредственно к решению неоднородного дифференциального уравнения

где представляет собой некоторую исходную функцию. В соответствии с ранее изложенными методами определим с помощью равенства

Умножим уравнение (1.9) на g, а равенство (1.10) на и, произведем вычитание и интегрирование. Получим следующее выражение:

Теперь, используя фильтрующие свойства функции Дирака и вводя оператор Р, мы можем записать

где

Мы видим, что путем выбора функции Грина, которая удовлетворяет тем же самым граничным условиям, что и и, второй член в правой части уравнения (1.11) может

быть сделан исчезающе малым. Более того, если результат не зависит от смещения осей системы координат, то можно получить следующее выражение:

Физически это очень важный результат, так как он утверждает, что каждая точка функции источника развертывается в линию, уравнение которой определяется функцией и результирующее распределение и представляет собой линейную суперпозицию воздействий от всех точечных источников. Далее, этот результат справедлив как для пространственных, так и для временных изменений и может быть легко обобщен на случаи двух- и трехмерных полей, изменяющихся во времени [3].