ГЛАВА 9. ТЕОРИЯ ЧАСТИЧНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ

§ 1. Введение

До сих пор мы имели дело со скалярной теорией излучения. При изучении частичной когерентности, например, мы связывали скалярное возмущение в какой-то точке поля х со временем t. Теория частичной когерентности была развита с использованием представлений о корреляционных функциях. В частности, оказалась очень полезной функция перекрестной корреляции возмущений в двух различных точках поля в различные моменты времени, названная функцией взаимной корреляции . Теперь мы рассмотрим явление поляризации и затем перейдем к исследованию частичной поляризации 1). При этом необходимо будет принимать во внимание векторную природу света. Как мы увидим, теория частичной поляризации имеет много общего с теорией частичной когерентности.

Законы элементарной оптики, связанные с именами Брюстера и Малгоса, и методы сложения двух гармонических возмущений, направленных под прямым углом друг к другу, хорошо известны, и мы не будем здесь на них останавливаться. Конечно, эти фундаментальные представления очень важны и полезны для понимания физических основ явления поляризации. Но мы будем иметь дело главным образом с математической теорией, в которой обобщаются указанные основные представления и делается попытка найти математическое выражение также и для понятия частичной поляризации. Математический аппарат теории, не говоря уже о его изящности, значительно упрощает

анализ в тех случаях, когда речь идет о совокупном действии нескольких «поляризующих» приборов.

Прежде чем переходить к изложению математической теории, целесообразно обрисовать в общих чертах главную идею современных методов исследования поляризации.

Фиг. 9.1.

Мы ограничимся представлением о плоских волновых полях (монохроматических или немонохроматических). Предположим, что плоская волна распространяется в положительном направлении оси z выбранной нами пространственной системы координат (фиг. 9.1). Несколько оптических (поляризующих) приборов, соединенных последовательно (показанных на фиг. 9.1 в виде черного квадрата), «воздействуют» на приходящую плоскую волну, создавая затем выходящую плоскую волну. Прежде всего нам нужно найти такое представление плоской волны, которое было бы однозначно связано с ней. Тогда действие черного квадрата может быть охарактеризовано неким математическим «оператором». Мы потребуем, чтобы оператор был линейным. Это согласуется с линейностью уравнений Максвелла, описывающих поле (и функцию взаимной когерентности ), распространяющееся в соответствии с принципом Гюйгенса. В современных методах исследования частичной поляризации, о которых мы собираемся говорить, рассматриваются в основном линейные задачи, а векторная природа света учитывается с помощью матриц.

Первым, кто начал описывать поле посредством наблюдаемых величин, т. е. величин, которые могут быть непосредственно измерены, был Стокс [1] (1852 г.). Он ввел четыре так называемых «параметра Стокса». Один из них —

полная интенсивность в любой точке поля, а остальные три, как мы увидим, определяют состояние поляризации. Позже Пуанкаре [2] (1892 г.) ввел сферу, которая теперь называется сферой Пуанкаре и которая рассматривается нами в § 4, после того как вводятся параметры Стокса. Точки на сфере Пуанкаре представляют различные состояния поляризации, а действие прибора на приходящее поле характеризуется перемещением изображающей точки по сфере. Такая геометрическая интерпретация удобна потому, что она способствует более глубокому физическому пониманию вопроса. Указанные представления широко применяются и использовались при изучении одноосного и двухосного кристаллов, особенно Панчаратнамом [3, 4].

Джонс [5] (1941 г.) рассмотрел заново задачу о монохроматическом (и, следовательно, полностью поляризованном) излучении и ввел при этом матричные методы. Вместе со своими сотрудниками он успешно проанализировал полностью поляризованные волновые поля, оперируя с составляющими поля и описывая прибор с помощью комплексной -матрицы. Но сами составляющие поля излучения не могут быть наблюдаемы на высоких (оптических) частотах. Учитывая это, Мюллер (см. [6]) использовал параметры Стокса, которые, как мы увидим, могут быть измерены в поле излучения. Параметры выходящего поля были затем получены следующим образом: прибор представляется действительной -матрицей (матрицей Мюллера), которая действует на четыре параметра Стокса, представленные в виде четырехэлементного векторного столбца (вектора Стокса), и дает вектор Стокса для выходящего поля.

В более современной трактовке частичной поляризации (и частичной когерентности) используются представления о корреляционных функциях и «когерентных матрицах», которые впервые были введены Винером [8], а затем Вольфом [9]. В дальнейшем Вольф [10] подчеркнул необходимость однозначной связи удобного (комплексного) представления с реальным полем и указал на пригодность

в этом смысле аналитического сигнала. Позже Паррент и Роман [11] установили формальную аналогию между когерентной матрицей поля и матрицей плотности в статистической квантовой механике. Они применили метод когерентных матриц к некоторым специфическим оптическим приборам, и в квазимонохроматическом случае вывели закон преобразования когерентной матрицы, сформулированный с использованием приборных операторов.

Теперь мы более подробно рассмотрим различные методы, о которых вскользь говорилось выше. При этом мы будем придерживаться определенной схемы (такой схемы придерживался также Парк [7]). Именно, мы начнем с того, что представим поле в виде аналитического сигнала, введенного ранее в гл. 8. Запишем компоненты поля по осям х и у в типичной точке поля х в момент времени t в виде

и

Вообще говоря, работа приборов зависит от частоты излучения. Они будут по-разному реагировать на различные по частоте фурье-составляющие поля. Но мы ограничимся квазимонохроматическим приближением. Тогда можпо показать (Вольф [10]), что реакция прибора будет такой, как если бы на составляющие поля по осям оказывалось такое же действие, как и на среднюю частотную фурье-составляющую. Следовательно, в данном приближении все величипы, зависящие от частоты, можно вычислять на средней частоте v и непосредственно воздействовать не на отдельные соответствующие частотные фурье-составляющие поля, а на компоненты поля по осям х и у.

В § 2 на конкретпом примере рассматривается метод Джонса. В § 3 вводится метод когерентных матриц. Затем в § 4 излагается метод Мюллера с использованием понятия сферы Пуанкаре. Наконец, в § 5 мы рассмотрим несколько специальных случаев частичной поляризации, представляющих определенный интерес,