§ 3. Уравнения, описывающие образование изображения

Теперь необходимо найти выражение, характеризующее изменение и по поверхности. В соответствии с обозначениями предыдущей главы мы припишем точке Q координаты а элементу координаты . Ясно, что, если бы оптическая система в совершенстве преобразовывала входящий волновой фронт в сферическую поверхность с центром в точке Р, то и имело бы вид Но, вообще говоря, поверхность постоянной фазы будет отличаться от сферы на малую величину . Кроме того, необходимо учесть изменения амплитуды, обусловленные наличием покрытий и другими подобными

факторами. Поэтому мы напишем

Пусть представляет собой комплексную амплитуду возмущения на выходном зрачке. Тогда получим

где

При суммировании составляющих от различных элементов в пределах апертуры величина не будет значительно изменяться, но небольшие изменения могут приводить к значительным изменениям комплексной экспоненты. Поэтому мы вынесем за знак интеграла и разложим в показателе степени в ряд:

Можно пренебречь членами более высокого порядка на том основании, что мы рассматриваем световое возмущение только в малой области вокруг главного луча. Тогда выражение (5.7) принимает вид

где для обозначения всех членов, не зависящих от введена комплексная постоянная С. Чтобы преобразовать это выражение к более удобному виду, введем сначала угловые координаты

затем «приведенные» координаты

а также

Далее, определим таким образом, что

Тогда из выражения (5.8) следует, что, если не считать постоянной А, световое возмущение в гауссовой плоскости изображения, возникающее из-за наличия точечного источника в плоскости объекта, представляет собой двумерное преобразование Фурье от возмущения в пределах выходного зрачка в форме

При когерентном освещении это выражение представляет собой функцию Грина для оптического прибора, так как она линейно суммируется от точки к точке. С другой стороны, преобразование Фурье этого выражения является частотной характеристикой или передаточной функцией для когерентного освещения. Именно поэтому и возможна пространственная фильтрация при когерентном освещении, но к этому мы вернемся позже.

В более общем случае некогерентного освещения или самосветящихся объектов линейно суммируется функция которая и представляет собой функцию Грина или «функцию рассеяния» прибора в виде

Нормализованная передаточная функция для этого случая равна

Пойдем дальше и, воспользовавшись теоремой свертки для преобразования произведения, получим соотношение

которое по ряду причин имеет очень важное значение. Во-первых, оно непосредственно показывает, как деформация волнового фронта влияет на пространственночастотную характеристику. Поэтому мы получаем возможность определять частотную характеристику непосредственно по информации, имеющейся в пределах выходного зрачка, без необходимости в подробном исследовании дифракционной картины, которая иногда бывает очень сложной. Во-вторых, хотя в принципе связаны преобразованием Фурье и, зная одну из этих величин, мы тем самым знаем другую, смещение частоты выражений (5.9) для ) обеспечивает некоторое сглаживание, так что информацию о качестве и характеристиках оптического прибора часто бывает удобнее извлекать из графика а не Наконец, в-третьих, отметим, что соотношение (5.9) является следствием двух отдельных и различных преобразований Фурье. Первое преобразование, связывающее и ) просто выражает тот факт, что при использовании только принципа Гюйгенса картину телескопической дифракции или дифракции Фраунгофера в видимой области спектра можно приближенно рассматривать как двумерное преобразование Фурье распределения в пределах выходного зрачка. Второе преобразование Фурье возникает вследствие того, что мы подходим к процессу формирования оптического изображения как к процессу фильтрации пространственных частот. При таком подходе вполне естественно, что импульсная реакция и сопряженная ей частотная характеристика находятся с помощью преобразования Фурье.

Резюмируя сказанное, приведем в табл. 5.1 наиболее важные из полученных нами соотношений.

Таблица 5.1.

(см. скан)