§ 4. Параметры Стокса и метод Мюллера

Для удобства и для единообразия мы опять начнем с элементов когерентной матрицы. На этот раз определим векторный столбец с помощью формулы

где звездочка означает комплексное сопряжение. Элементы в формуле (9.23) те же самые, что и элементы когерентной матрицы. Еще одно преимущество описываемого метода достигается с помощью такого унитарного преобразования в четырехмерном пространстве, при котором все новые элементы действительны. Мы можем записать

где Т — унитарная матрица. Записывая полученную формулу в развернутом виде, мы приходим к следующему выражению:

Определенные таким образом новые элементы называются параметрами Стокса, и они все действительные. Подобно когерентной матрице четыре параметра Стокса полностью характеризуют состояние поля.

Найдем теперь закон преобразования параметров Стокса в том случае, когда свет проходит через физический прибор. Обращаясь к выражению (9.12), мы видим, что

Здесь мы использовали соотношение

где — матрицы, а знак X означает их кронекеровское перемножение. Далее, используя матрицу преобразования Т [выражение (9.24)], мы легко установим, что

или, определяя матрицу Мюллера М как

получаем

Мы предлагаем читателю самому решить пример, данный в § 2, с помощью метода Мюллера. Укажем только, что матрица Мюллера См (6) для компенсатора С (6),

может быть составлена на основе выражения (9.26). Она имеет следующий вид:

    (9.28)

Для сравнения мы приводим в табл. 9.1 вектор Джонса g, когерентную матрицу J и вектор Стокса S для специальных случаев совершенно монохроматических волновых полей при определенных состояниях поляризации. Для удобства в таблице опущены нормирующие множители.

Если поле описывается с помощью параметров Стокса, то общая интенсивность дается элементом так как из выражения (9.25) следует, что Степень поляризации может быть выражена через параметры Стокса. Для этого мы просто подставим соответствующие величины из выражения (9.25) в выражение (9.16) и тогда получим

При измерении параметров Стокса необходимо следовать сказанному в § 3. В соответствии с выражением (9.25) параметры Стокса линейны относительно элементов когерентной матрицы. Поэтому их можно определить как линейные комбинации четырех измеряемых интенсивностей (9.19) — (9.22).

Таблица 9.1 (см. скан)

Для полностью поляризованного волнового поля и тогда в соответствии с определением, данным степени поляризации [выражение (9.29)], мы можем записать

Полученное соотношение представляет собой уравнение сферы (в стоксовом подпространстве ),

радиус которой равен полной интенсивности Такая сфера называется сферой Пуанкаре. Для частично поляризованных волновых полей радиус сферы равен а для неполяризованного (естественного) излучения сфера сжимается до нулевого радиуса.

Фиг. 9.3.

Каждой точке на этой сфере соответствуют определенные значения параметров и, следовательно, определенное состояние поляризации. На фиг. 9.3 показана единичная сфера в стоксовом подпространстве На этой сфере символически изображены состояния поляризации, указанные в табл. 9.1.

На примере, рассмотренном в § 2, мы видели, что изображающая точка на сфере Пуанкаре для падающего луча имеет координаты После прохождения через компенсатор (четвертьволновую пластину) выходящий

луч имеет поляризацию с правым вращением. Иными словами, как было отмечено в § 1, изображающая точка перемещается по сфере Пуанкаре в новое положение с координатами Очевидно, что компенсатор с осью наименьшей скорости, совпадающей с направлением х, вызывает вращение относительно оси в стоксовом подпространстве. Об этом можно заключить и на основании формы матрицы Мюллера См в выражении (9.28).

В качестве другого примера такого вращения в стоксовом подпространстве мы рассмотрим вращатель . Это такое физическое устройство, которое вызывает вращение плоскости поляризации. Матрица, описывающая подобный вращатель, имеет вид

Соответствующую матрицу Мюллера RM можно получить с помощью выражения (9.26). Она имеет следующий вид:

Таким образом, поворот плоскости поляризации относительно оси z на угол вызывает поворот относительно оси в стоксовом подпространстве на угол 20. Читателя, желающего подробнее ознакомиться с этим замечательным свойством сферы Пуанкаре (или, вернее, стоксова подпространства), мы отошлем к диссертации Мэретея [13].

Прежде чем закончить данный параграф, мы сведем в табл. 9.2 характеристики некоторых хорошо известных оптических приборов.

Освоившись, таким образом, с методами анализа проблем, связанных с поляризованным или частично поляризованным светом, мы можем теперь остановиться на некоторых интересных частных вопросах.

Таблица 9.2. -матрицы и матрицы Мюллера для некоторых оптических приборов (см. скан)