§ 4. Оптимальная компенсация сферических аберраций третьего и пятого порядков

В отношении аберраций пятого порядка мы ограничимся рассмотрением одной интересной задачи, имеющей практическое значение. Предположим, что мы находимся на оси и фронт волны, несколько удаленный от гауссовой фокальной плоскости, описывается выражением

В соответствии с выражением (4.8) продольная аберрация соответствующая последнему уравнению есть

где представляет собой синус половины апертурного угла а. При этом нужно помнить, что если сместиться из параксиального фокуса на расстояние то необходимо включить в А величину , где

Теперь возникают следующие вопросы: какое отношение коэффициентов третьего и пятого порядков обеспечивает наилучшую компенсацию и каково оптимальное положение фокуса, определяемое выбором отношения Ясно, что ответы на эти вопросы в значительной

мере зависят от того, каковы критерии «наилучшего» или «оптимального». Одним из критериев, который используется особенно часто и, как мы увидим в дальнейшем, имеет некоторые основания также и с точки зрения физической оптики, является критерий минимума среднего квадрата [3] деформации волнового фронта.

Следуя Марешалю, мы вычислим сначала

Затем образуем выражение

где

В общем случае будет функцией . Далее желательно определить такое положение фокальной плоскости при котором будет минимальным. Таким образом, получаем уравнение

и, решая его относительно подставляем полученную величину обратно в выражение (4.12), из которого следует, что

Это выражение в свою очередь можно минимизировать, чтобы получить оптимальное отношение . В рассматриваемом случае выражения (4.11) и (4.12), примененные к деформации волнового фронта (4.9), приводят к выражению

Полагая

находим

Подставив эту величину обратно в выражение (4.13), получаем

Теперь можно ввести и минимизировать это выражение по отношению к . В результате находим

и тогда из выражения (4.14)

Формулы (4.16) и (4.17) дают ответ на поставленные выше вопросы. При данном коэффициенте аберраций пятого порядка наилучшая компенсация коэффициента аберраций третьего порядка и положение точки фокуса, соответствующие минимальному среднему квадрату деформации волнового фронта, должны быть выбраны таким образом, чтобы

Чтобы выяснить, что произойдет при этом вблизи плоскости изображения, мы рассмотрим два частных случая.

Случай 1. Имеется только сферическая аберрация третьего порядка Вернемся снова к выражению (4.13), по используем уже формулу (4.15), положим и вспомним, что на основании сказанного ранее об аберрациях Зейделя Тогда получим

Это значит, что средний квадрат отклонения волнового фронта от средней идеальной сферы минимален при среднем положении плоскости изображения между параксиальным и крайним фокусами (фиг. 4.9).

Случай 2. Имеются сферические аберрации третьего и пятого порядков . Из выражения (4.10) получаем величину

измеренную от параксиального фокуса.

Фиг. 4.9.

Имеется зона на которой волновой фронт может быть изогнут в другом направлении, так что лучи сведутся обратно к параксиальному фокусу При этом на выражения (4.19) следует, что

В зависимости от того, какое значение имеет больше единицы, равное единице или меньше, чем единица (фиг. 4.10), говорят, что система недокорректирована, скорректирована полностью или перекорректирована. Для приведенного отношения выражение (4.19) принимает вид

откуда следует, что при мы имеем

так что коэффициенты волнового фронта третьего и пятого порядков выражены через величину максимальной продольной сферической аберрации и коэффициент, характеризующий степень коррекции.

Если наблюдать изображение в плоскости, несколько смещенной относительно параксиального фокуса в направлении линзы на величину то продольные аберрации будут иметь вид

и деформация волнового фронта, измеренная относительно новой идеальной сферы, будет равна

где мы опять вводим безразмерный параметр в виде

или

чтобы указать положение плоскости изображения. Теперь мы получаем для деформации волнового фронта, которая видна из положения — при коэффициенте коррекции выражение

(см. скан)

Фиг. 4.10.

Сравнивая полученные результаты с оптимальным выражением (4.18), мы видим, что для достижения минимального значения среднего квадрата деформации волнового фронта необходимо сначала полностью скорректировать систему это значит, что мы должны перенести крайние лучи к параксиальному фокусу, а затем переместить фокус в точку, соответствующую 80% расстояния от фокальной плоскости для параксиальных лучей до фокальной плоскости для максимального числа зон. Полное решение вопроса представлено на фиг. 4.10.