§ 6. Идеализированный случай

В качестве другого примера, иллюстрирующего метод анализа оптических систем как фильтров пространственных частот, мы рассмотрим теперь проблему формирования оптического изображения с весьма элементарных позиций. Посмотрим, что произойдет с идеальным оптическим изображением (фиг. 2.9), если переместить его из фокальной плоскости. При этом вследствие идеализации явления мы пренебрегаем влиянием дифракции и аберрациями. В дальнейшем мы исследуем их влияние на структуру изображения, но пока что будем иметь дело с идеализированной картиной, чтобы было легче проиллюстрировать нашу точку зрения.

Предположим, что функция рассеяния, или импульсная реакция, в этом случае имеет вид цилиндра (фиг. 2.10, а). Тогда частотную характеристику можно определить из выражения

при выводе которого, исходя из наличия круговой симметрии, мы воспользовались преобразованием Фурье — Бесселя. Принимая во внимание хорошо известное для функций Бесселя соотношение

(см. скан)

Фиг. 2.9.

(см. скан)

Фиг. 2.10.

преобразуем при выражение (2.10) к виду

как показано на фиг. 2.10, б. Первый предел разрешения (переход функции через нулевое значение) соответствует или

Фиг. 2.11.

Таким образом, при отношении диаметра пятна к периоду синусоидальной миры, равном контраста на изображении не будет. Для линейчатого теста с большей частотой становится отрицательным, что указывает на наличие фазового сдвига в пространстве на 180°. Это означает, что черные и белые линии поменяются местами. Переход через нулевой контраст с последующим резким изменением фазы показан на фиг. 2.10, б. Подобный эффект, известный в оптике под названием «ложного разрешения», можно наглядно продемонстрировать, если спроектировать миру, состоящую из группы сходящихся полос, на экран и затем дефокусировать проектор. При этом будут хорошо видны полосы нулевого контраста, проходящие поперек миры, и резкое изменение фазы (фиг. 2.11).

Можно, конечно, получить форму этой кривой, если просто представить себе, что происходит с интегралом

свертки при сканировании миры световым пятном. Сначала, когда пятно намного меньше просвета между линиями, будут лишь размазываться края линий. Затем, когда диаметр пятна будет того же порядка, что и просвет, увеличение интенсивности пропущенного света при сканировании будет почти точно компенсироваться уменьшением и, следовательно, модуляции света не будет (нулевой контраст). Далее, когда сканирующее пятно начнет перекрывать две линии, света будет больше проходить от двух белых линий, когда в центре пятна находится черная линия, чем в том случае, когда в центре пятна находится белая линия. Этим объясняется возникновение области ложного разрешения. Подобным образом можно и дальше рассматривать процесс сканирования. Следовательно, хотя задача была сформулирована для несфокусированной идеальной линзы, подобный путь анализа часто пригоден и для других сканирующих систем (например, телевизионных и инфракрасных), для которых функция рассеяния может быть аппроксимирована цилиндрическим распределением, представленным на фиг. 2.10, а.