ГЛАВА 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ АБЕРРАЦИЙ

§ 1. Волновая аберрационная функция

Рассмотрим вопрос о формировании изображения в том случае, когда учитываются величины более высоких порядков в разложениях А и Т в основных матрицах R и Т. Развитие теории, основанной на представлениях параксиальной оптики, приводит к теории аберраций трех, пяти, семи и более высоких порядков. Вопрос о том, каким образом суммируются эти аберрации при переходе от одной преломляющей поверхности к другой, является основной проблемой при расчете линз. Детальное исследование этого интересного вопроса может увести нас очень далеко. Здесь достаточно указать, что в настоящее время быстродействующие вычислительные машины позволяют в принципе конструировать более сложные оптические системы и сводить к минимуму утомительные ручные расчеты. Но на практике машина может только выполнить вычисления по заданной ей программе, так что степень точности расчетов, достижимой при данных физических и экономических условиях, определяется опытом и изобретательностью конструктора.

Геометрическую теорию аберраций мы будем излагать феноменологически. В соответствии с фиг. 4.1 заменим символически реальную оптическую систему системой четырех плоскостей, а именно плоскостей объекта, изображения и входного и выходного зрачка. Затем построим сферу с центром в точке Р, являющейся гауссовым изображением точки Р. Радиус сферы R проходит через центр выходного зрачка и, следовательно, совпадает с главным лучом. Если бы оптический путь был одинаков для каждого луча, выходящего из точки Р и проходящего через оптический прибор и его выходной зрачок, тогда сфера сравнения совпадала бы с поверхностью

(см. скан)

Фиг. 4.1.

постоянного оптического пути и все лучи собирались бы в точке Р. Но на самом деле эта поверхность не является сферой, и функцию, характеризующую степень отклонения формы этой поверхности от сферы, мы будем называть аберрационной функцией . Для аберрационной функции возможны различные представления, но мы рассмотрим пока что только разложение в степенной ряд, и лишь несколько позже обратимся к представлению аберрационной функции в виде разложения по полному набору функций, ортогональных к единичному кругу. Далее, можно показать, что при симметричной оптической системе, если использовать для точек выходпого зрачка полярные координаты , величина А зависит только от трех инвариантов вращения: . В общем случае мы можем написать

где

а — радиус выходного зрачка.

Заметим, что слагаемые, содержащие множители и определяют фокусировку системы, а слагаемые с множителями характеризуют классические аберрации по Зейделю (сферическую аберрацию, астигматизм, кривизну поля изображения, дисторсию и кому). Мы вернемся к этим аберрациям позже и подробно их исследуем, но сначала мы должны выяснить, как

влияет форма деформированной поверхности на степень отклонения лучей от точки гауссова изображения Р. Чтобы ответить на этот вопрос, мы сделаем небольшое отступление и посмотрим, каким образом осуществляется переход от физической к геометрической оптике.