ПРИЛОЖЕНИЕ А. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ - БЕССЕЛЯ

§ 1. Ряды Фурье

Разложение периодической функции в сумму гармоник хорошо известно [1, 10], и мы не будем здесь подробно говорить о нем. Но для большей полноты содержания основного текста мы приведем некоторые из наиболее важных форм этого разложения.

Если Р — период функции (в пространстве или во времени), то функцию часто представляют в виде

где — угловая частота. На основании ортогональности тригонометрических функций в интервале — коэффициенты Фурье можно записать в следующем виде:

Если — четная или нечетная функция, то один ряд коэффициентов, очевидно, исчезает.

Иногда функцию удобно разложить на сумму таких гармонических составляющих, которые отличаются не только амплитудой, но и фазой. Тогда имеем

Чтобы определить мы запишем в виде

и представим постоянные через коэффициенты выражения

Затем мы заменим показательными формами комплексных чисел, подставим их в выражение и перегруппируем соответствующие члены, чтобы получить

Весьма удобно ввести следующие обозначения:

так что выражение можно записать в более компактном виде

где

Необходимо заметить, что коэффициенты и — действительные, а коэффициенты в общем случае являются

комплексными величинами. Далее, при переходе к область суммирования в первом члене выражения должна быть расширена, так чтобы в нее вошли отрицательные целые числа.

Фиг. А.1.

Наконец, последний шаг непосредственно следует из условия ортогональности

или косвенно из выражения которое при некоторых обстоятельствах можно решить относительно величин . В качестве примера мы определим коэффициенты Фурье для теста Фуко (последовательности черных и белых линий), который часто используется для измерения характеристик оптических приборов (фиг. А.1). Прежде всего заметим, что функция — четная, так что Затем мы видим, что

Дополнительно

или

Теперь, вводя для образца величину «контраста» С, равную отношению т. е. отношению переменной и постоянной составляющих, мы получаем

где