§ 3. Изменение амплитуды и фазы в одномерном случае

В данном параграфе мы покажем, как влияет форма F (Р) на величину . Рассмотрим колоколообразное распределение F (Р) по апертуре, изображенное на фиг. 6.2, а. Подставляя соответствующее выражение для (Р) в

(см. скан)

Фиг. 6.2.

и выполняя элементарное интегрирование, получаем кривые, показанные на фиг. 6.2, б. По кривым видно, что контраст увеличивается в области низких частот и уменьшается в области высоких частот. Обратная картина наблюдается, если распределение прозрачности апертуры имеет вид, представленный на фиг. 6.3, а. Фиг. 6.3, б показывает, каким образом можно увеличить контраст для мелких деталей, если затемнить центральную часть апертуры. Подчеркнем, что кривые представлены в нормированном виде, и поэтому по ним нельзя оценить потерь в полной освещенности, обусловленных наличием покрытия.

Возвращаясь теперь к фазовым изменениям, легко заметить, что при фазовая ошибка вида приводит к следующему подынтегральному выражению в формуле (6.2):

где представляет собой многочлен степени для . Проанализируем последовательность кривых, изображенных на фиг. 6.4, а — е, которые показывают влияние фазовой ошибки на передаточную функцию при .

1. . Как и следовало ожидать, появление постоянной величины в функции, описывающей фазовую ошибку, просто соответствует выбору различных идеальных сфер и, следовательно, не влияет на результаты, полученные как с использованием представлений геометрической, так и с использованием представлений физической оптики.

2. . После вычитания зависимость правой части выражения (6.3) от исчезает и остается только член, линейный относительно Из теории связи хорошо известно, что линейное изменение фазы приводит только к смещению всей импульсной реакции в целом. Таким образом, в оптике при введении стеклянного клина просто

(см. скан)

Фиг. 6.3.

смещается все изображение. В то же время такая аберрация, как дисторсия, линейна относительно . Нежелательна же эта аберрация потому, что она пропорциональна кубу угла поля зрения.

3. . Этот член характеризует ошибку фокусировки. Вследствие его относительной простоты проведем подробное интегрирование, чтобы показать, как производятся расчеты кривых такого вида. Предположим, что имеется идеальная цилиндрическая линза с и необходимо определить, что произойдет с передаточной функцией, если расфокусировать систему и ввести фазовую ошибку Подставляя эту величину в формулу (6.2), получаем

Теперь приведем систему координат к центру перекрывающейся области Поскольку действительная часть подынтегрального выражения — четная функция, мы имеем

Производя интегрирование, получаем

где

2а — ширина отверстия. Интересно отметить (см. фиг. 6.4, в), как быстро падает контраст после того, как достигнут релеевский допуск Далее, при передаточная функция изменяется как т. е. именно

(см. скан)

Фиг. 6.4.

(см. скан)

Фиг. 6.4. (продолжение)

так, как и следует ожидать, если пренебречь дифракцией и предположить на основании чисто геометрических соображений, что световой поток распределен равномерно в пятне шириной на плоскости, расположенной вне фокуса.

4. Поскольку волновой фронт кубичен относительно , при оценках приходится иметь дело с интегралом Френеля. Передаточную функцию удобно представить в виде

где

и

Типичная кривая представлена на фиг. 6.4, г. Заметим, что не следует пренебрегать эффектом нелинейного фазового отклонения. На фиг. 6.4, д представлено распределение освещенности в изображении для двух систем, которые характеризуются одинаковым ослаблением амплитуд, но в первой из которых — линейное фазовое отклонение, а во второй — фазовое отклонение, показанное на фиг. 6.4, г. В первом случае наблюдатель, вероятно, догадается, что объект представляет собой квадратноволновой тест, но во втором случае он может быть введен в заблуждение из-за того, что гармоники суммировались не в фазе. Таков тип фазовой ошибки, связанной с комой.

5. . В заключение рассмотрим кривые, иллюстрирующие эффект четвертой степени фазовых ошибок (сферической аберрации) в одномерном случае. Для общности включим в А также член, характеризующий фокусировку. Как видно из фиг. 6.4, е, для полупериода сферической

аберрации третьего порядка наилучший фокус для всех частот лежит посредине между фокусом для крайних лучей и параксиальным фокусом. При больших аберрациях кривые пересекаются, и понятие «наилучшего фокуса» зависит, помимо прочего, от структуры объекта и от того, для каких целей будет использован оптический прибор.