ГЛАВА 3. ВВЕДЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ ОПТИКУ

§ 1. Принцип Ферма и закон преломления Снеля

В физике принято описывать поля с помощью вариационных принципов. Наиболее старым вариационным принципом в физике является, по-видимому, принцип Ферма, лежащий в основе геометрической оптики. В соответствии с этим принципом луч света проходит через среду так, что общая оптическая длина хода луча (сумма геометрических длин, умноженных на соответствующие показатели преломления ) оказывается экстремальной. Это значит, что луч распространяется от точки к точке таким образом, что

Не следует делать поспешного вывода о том, что свет всегда распространяется по наикратчалшему расстоянию. Часто путь луча оказывается не минимальным, а максимальным. Принцип Ферма просто указывает на наличие экстремума. В случае однородной среды из уравнения (3.1) вытекает дифференциальное уравнение Эйлера — Лагранжа, описывающее прямолинейное распространение света. В случае же неоднородной среды (например, атмосферы, плотность которой и, следовательно, показатель преломления переменны) путь, удовлетворяющий уравнению (3.1), будет криволинейным.

Применим принцип Ферма к задаче о преломлении луча на поверхности, разделяющей две однородные среды с показателями преломления (фиг. 3.1).

(см. скан)

Фиг. 3.1.

В данном параграфе мы будем рассматривать только лучи, проходящие в плоскости Пусть углы падения и преломления луча на поверхности. В этом случае принцип Ферма сводится к выражению

или

где указывает на малое отклонение от действительного пути луча. Из геометрических соображений можно написать

так что принцип Ферма приводит к соотношению

выражающему закон преломления Снеля.

Точно так же можно проследить ход луча ниже оси z, преломление на других поверхностях и в конце концов определить его высоту и направление при выходе из последней поверхности. Но мы лишь отметим, что происходит с лучом за промежуток времени между преломлением на первой поверхности и выходом из последней. Луч сначала отклонится от первоначального направления, затем пойдет прямолинейно, потом опять отклонится, опять пойдет прямолинейно и т. д.

Если заданы высота и направляющий косинус приходящего луча, то удобнее всего было бы заменить иногда очень сложный оптический прибор оператором, который давал бы высоту и направляющий косинус выходящего луча.

Если бы это было возможно, то уже не составило бы труда вернуться назад от первой поверхности к плоскости объекта или перейти от последней поверхности к плоскости изображения. Мы получили бы тогда оператор, с помощью которого положение и направление луча, выходящего из плоскости объекта, преобразуются в положение и направление луча, входящего в плоскость изображения.

Какими же свойствами должен обладать такой оператор, чтобы все лучи (независимо от направления), выходящие из плоскости объекта на высоте х, сходились в точку на высоте х, отличающейся от х масштабным множителем (увеличение )? То есть мы хотим знать, как найти плоскость изображения. Далее можно спросить, при каких условиях получается изображение плоскости с увеличением, равным единице Это вопрос о главных плоскостях системы. Наконец, мы можем определить свойства оператора таким образом, чтобы луч, исходящий под углом а из точки объекта, лежащей на оптической оси, попадал в точку изображения, лежащую на оптической оси, под тем же углом Такими точками определяется положение узловых плоскостей. Таким образом, оператор должен содержать все сведения о положении кардинальных плоскостей и кардинальных точек (точек пересечения кардинальных плоскостей с оптической осью).