§ 3. Метод когерентных матриц

В качестве примера мы рассмотрим сначала (естественное) иеполяризованное квазимонохроматическое поле излучения. Под неполяризованным мы понимаем поле, для которого положение электрического вектора является неопределенным. Это означает, что все его направления в плоскости равновероятны. Иначе говоря, при длительном наблюдении за его проекцией на ось х проекция окажется положительной столько же раз, сколько и отрицательной; то же самое можно сказать и относительно проекции вектора на ось у. Следовательно, при усреднении

за достаточно продолжительное время мы можем ожидать, что

где угловые скобки обозначают усреднение по времени. Интенсивность же обеих компонент всегда положительна, так что интенсивность, усредненная по времени, не равна нулю.

Мы можем ожидать, что средние значения интенсивности и -компонент будут равны друг другу, т. е.

Кроме того, в нашем примере и -компоненты некоррелированы и, следовательно, в среднем

ибо они имеют нулевые средние значения [см. выражение (9.6)]. Корреляционные функции, представленные выражениями (9.7) и (9.8), весьма удобно считать элементами -матрицы

где I — полная интенсивность, т. е.

Матрица в выражении (9.9) называется когерентной матрицей, описывающей неполяризованное поле излучения. Она просто равва единичной матрице с постоянным множителем.

Теперь мы дадим математическое представление (ква-зимонохроматического) поля, основанное на когерентной матрице. Рассмотрим квазимонохроматическую световую волну со средней частотой v, распространяющуюся в положительном направлении оси z. Пусть

представляют собой две взаимноортогональные компоненты в точке поля х в момент времени t (см. [12], стр. 541). Следуя Парренту и Роману мы теперь определим когерентную матрицу J как произведение

В этом выражении — элементы двухэлементного вектора-столбца [формула (9.10)]. Матрица — эрмитово сопряженная относительно матрицы , т. е. однорядная матрица

Знак X означает перемножение по Кронекеру (прямое произведение) и в выражении (9.11), тогда как угловые скобки, как и прежде, обозначают усреднение по времени.

Если пучок света проходит через прибор, описываемый матрицей L, то

и поэтому когерентная матрица J интенсивности выходящего пучка имеет вид

откуда, используя выражение (9.11), получаем

Это закон преобразования когерентной матрицы в квазимонохроматическом приближении.

Очень полезно рассмотреть с точки зрения метода когерентной матрицы пример, указанный в § 2. В этом частном случае операция усреднения по времени в определении когерентной матрицы (9.11) может быть опущена, так как поле, падающее на четвертьволновую пластинку, является совершенпо монохроматическим.

По определению [выражение (9.11)] когерентная матрица для падающего луча есть матрица

Матрицу L для компенсатора можно получить из выражения (9.4) при Используя закон преобразования, представленный выражением (9.13), мы получаем когерентную матрицу для поля на выходе

в виде когерентной матрицы для поля излучения, поляризованного с правым вращением.

Полную интенсивность поля можно просто получить как след когерентной матрицы:

В нашем примере полная интенсивность равна

как для входящего, так для выходящего пучка в соответствии с выражением (9.5).

Степень поляризации Р можно определить как отношение интенсивности поляризованной части излучения к полной интенсивности т. е.

Читателя, интересующегося подробностями вычислений, мы отошлем к книге Борна и Вольфа [12]. По апалогии с теорией частичной когерентности мы можем определить нормированную функцию взаимной корреляции как

(с помощью неравенства Шварца можно показать, что Иными словами, мы считаем, что поле образовано путем когерентного сложения двух полей: одного — полностью поляризованного в направлении х, и другого — полностью поляризованного в направлении у. Как показали Паррент и Роман степень поляризации можпо тогда определить как максимальную модуляцию по отношению к вращению выбранной системы координат относительно оси Формула для определенной таким образом степени поляризации имеет следующий вид [10]:

где — определитель когерентной матрицы J. Выражение для Р инвариантно относительно вращения, так как не зависят от выбора осей х и у. Мы видим, что степень поляризации естественного излучения, соответствующая когерентной матрице (9.9), равна нулю. Для когерентных же матриц (9.14) и (9.15), которые описывают монохроматические волновые поля, При определении Р как максимальной модуляции видно, что

Прежде чем закончить данный параграф, напомним, что когерентная матрица, описывающая частично поляризованное волновое поле, является эрмитовой. Матрица J представляет собой -матрицу и, следовательно, содержит только четыре независимых действительных параметра. Эти четыре параметра могут быть определены экспериментально и полностью характеризуют поле. Прежде всего заметим, что интенсивность — такой параметр, который можно наблюдать в любом эксперименте. Интенсивность I выходящего луча можно найти с помощью закона преобразования (9.13):

Рассмотрим в качестве примера такой поляризатор, как призма Николя, которая пропускает только одну компоненту поля, скажем, составляющую угол с направлением оси Таким образом, призма Николя может быть

представлена в виде проекционного оператора

который является эрмитовым и дает проекцию -поля в направлении 0. Проекционные операторы удовлетворяют условию

Если естественное неполяризованное излучение [выражение (9.9)] падает на призму Николя, то интенсивность Г выходящего поля можно найти с помощью выражения (9.17). Результат таков:

Как мы видим, при этом передается только половинное значение начальной интенсивности.

Теперь рассмотрим промежуточный случай, когда когерентная матрица луча подобна матрице (9.11). Если луч падает на поляризатор, ориентированный таким образом, что то мы имеем

Таким образом, измеренное значение интенсивности дает нам величину параметра в выражении (9.11). Аналогичным приемом получаем выражение для компоненты:

Далее, нетрудно показать, что

Поэтому, если мы рассматриваем последовательность приборов, описываемую зависимостью

где С — компенсатор (9.4), то приходим к следующему выражению:

В этом выражении оператор соответствует компенсатору повернутому на относительно оси z (см. Мэретей ), т. е. оси наибольшей и наименьшей скорости компенсатора меняются местами Таким образом, выражения (9.19) — (9.21) показывают, что для определения четырех параметров когерентной матрицы необходимо измерить только четыре интенсивности. Имеется целый ряд способов измерения элементов когерентной матрицы, из которых мы указали только один.

Таким образом, при методе когерентных матриц состояние поля и характеристики прибора описываются -матрицами, в общем случае имеющими комплексные элементы. В следующем параграфе мы дадим другой метод, метод Мюллера, при котором состояние поля описывается векторным столбцом (вектором Стокса), имеющим действительные составляющие, а характеристики прибора -матрицей (матрицей Мюллера), все элементы которой действительны.