§ 3. Теория преобразования Фурье для двумерного случая
Формально все полученные результаты могут быть распространены и на случай двух (или более) измерений. Мы приведем здесь наиболее важные соотношения. Для двумерного случая комплексные ряды Фурье можно записать в следующем виде:
где
При переходе к двумерному интегралу Фурье получаются следующие выражения:
где 
— скалярное произведение 
.
Имеется одно важное соотношение, на котором следует остановиться более подробно. Допустим, что мы преобразуем 
к полярным координатам 
Предположим далее, что 
и g обладают круговой симметрией (как часто бывает в оптике), так что интегралы не должны зависеть от 
При таких условиях выражение 
приводится к виду
Напомним, что существует известная связь между экспоненциальными функциями и функциями Бесселя:
Тогда, полагая 
можно получить интересное соотношение
Интегрируя обе стороны по 
от 0 до 
мы получаем интеграл, представляющий собой функцию Бесселя нулевого порядка:
Таким образом, при наличии круговой симметрии двумерные преобразования Фурье, описываемые выражениями (А.13), сводятся к одномерному преобразованию Бесселя:
