§ 3. Теория преобразования Фурье для двумерного случая

Формально все полученные результаты могут быть распространены и на случай двух (или более) измерений. Мы приведем здесь наиболее важные соотношения. Для двумерного случая комплексные ряды Фурье можно записать в следующем виде:

где

При переходе к двумерному интегралу Фурье получаются следующие выражения:

где — скалярное произведение .

Имеется одно важное соотношение, на котором следует остановиться более подробно. Допустим, что мы преобразуем к полярным координатам Предположим далее, что и g обладают круговой симметрией (как часто бывает в оптике), так что интегралы не должны зависеть от При таких условиях выражение приводится к виду

Напомним, что существует известная связь между экспоненциальными функциями и функциями Бесселя:

Тогда, полагая можно получить интересное соотношение

Интегрируя обе стороны по от 0 до мы получаем интеграл, представляющий собой функцию Бесселя нулевого порядка:

Таким образом, при наличии круговой симметрии двумерные преобразования Фурье, описываемые выражениями (А.13), сводятся к одномерному преобразованию Бесселя: