ГЛАВА 7. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

§ 1. Случайные объекты

До сих пор мы старались подчеркнуть, что при рассмотрении приборов, формирующих изображения, как фильтров пространственных частот теория в принципе оказывается более простой. При таком подходе изображение объектов с периодической структурой или объектов, состоящих из простых геометрических фигур на темном фоне, теоретически получается очень просто, на основе разложения в ряд Фурье. В некоторых же случаях, как мы видели в предыдущей главе, можно говорить даже о синтезе изображения. Но часто вопрос о формировании изображения оказывается в лучшем случае статистической проблемой. Дело в том, что оптические приборы обычно конструируются для наблюдения не одного объекта, а целого класса объектов. Каждый, кому когда-либо приходилось фокусировать оптический прибор, знает, что положение плоскости наилучшей фокусировки для крупных деталей не совпадает с плоскостью наилучшей фокусировки для мелких деталей. Плавно меняя фокусировку, наблюдатель «настраивает» прибор таким образом, чтобы наблюдать те детали изображения, которые его интересуют. Возникает вопрос: если заданы контрастно-частотные передаточные функции для нескольких положений плоскости наилучшей фокусировки и для различных углов падения лучей, то как выбрать оптимальную контрастно-частотную передаточную функцию? Очевидно, что ответ на этот вопрос зависит от того, что нам заранее известно об объекте и о предполагаемых условиях работы прибора. Как мы увидим, требования обеспечения максимальной четкости изображения весьма отличны от требований обеспечения максимального согласования флуктуаций яркости в плоскости объекта и в плоскости изображения

Мы уже использовали одип показатель качества, позаимствованный нами из классической оптики, — это четкость по Стрелю 3). Напомпим вкратце, как эта величина появляется при анализе процесса формирования изображения. Согласно Релею, изображение не ухудшается заметным образом, если максимальная волновая деформация относительно идеальной сферы не превышает . Марешаль же, исследуя полный волновой фронт, испускаемый выходным зрачком, установил соотношение между средним квадратом деформации волнового фронта и интенсивностью в центре дифракционного пятна. Требование, чтобы отношение этой интенсивности к интенсивности, создаваемой в центре дифракционного пятна тем же оптическим прибором, но не имеющим аберрации, не превышало 0,8, эквивалентно в обозначениях Марешаля допуску на среднеквадратичную волновую деформацию, равному Как уже говорилось, это нормализованное соотношение известно под названием «четкость по Стрелю» и в наших обозначениях может быть записано следующим образом:

Позже Линфут [1] предложил использовать для оценки оптических систем показатели качества, которые представляют собой двумерное обобщение статистических характеристик, приведенных для линейных временных фильтров в гл. 2. Именно, он ввел следующие характеристики качества изображения:

а) Относительное структурное содержание

Этой величиной оценивается в основном резкость по среднеквадратичным значениям. Данный критерий ничего

не говорит о согласовании максимумов и минимумов яркости в плоскостях объекта и изображения, т. е. не требуется, чтобы изображение было «похоже» на объект.

б) Степень корреляции

Этой величиной оценивается в основном степень согласования распределения яркости в плоскостях объекта и изображения; такой критерий, вообще говоря, не позволяет выбрать систему, обеспечивающую наиболее резкое изображение.

в) Дефект верности

где

Как было показано в гл. 2, этот показатель качества зависит от двух предыдущих. Все три показателя связаны между собой соотношением

Следовательно, показатель F (или D) содержит характеристики, входящие как в Q, так и в Г.

Перечисленными показателями качества удобнее пользоваться, если в их выражении перейти к пространству

частот:

Пока все хорошо. Оптическая система описывается функцией , структура объекта — функцией ), а характер назначения прибора укажет, какой фактор качества необходимо выбрать. Но чтобы практически использовать эти соотношения, необходимо сделать некоторые предположения относительно . При отсутствии конкретных данных об объекте мы можем прибегнуть к теории информации и исходить, так сказать, из «принципа максимального незнания». Именно, мы выберем для ) форму «белого» (т. е. со спектром, равномерным по крайней мере до частоты среза фильтра) гауссова (нормального) шума. Это связано с тем, что среди всех структур объектов, характеризующихся фиксированной величиной среднего квадрата флуктуаций яркости, структуре с нормальным распределением величин яркости соответствует максимальная энтропия. Выбор спектра, равномерного вплоть до пределов разрешения, позволяет нам вынести ) за знак интеграла и сконцентрировать внимание на зависимости показателей качества от параметров оптической системы [через

На основе высказанных упрощающих предположений введем новые показатели качества, нормализованные по отношению к показателям качества идеального прибора:

где

Подчеркнем еще раз, что величина Т, будучи независимой от фазы функции , не характеризует систему с точки зрения «ложного разрешения».

Фиг. 7.1.

Далее, определенный выше параметр q идентичен четкости по Стрелю . Наконец, Т представляет собой именно ту величину, которую Шейд [2] первоначально использовал для оценки оптических систем и которую он обозначил и назвал эквивалентной полосой пропускания.

В заключение данного параграфа мы покажем, как изменяются показатели качества при изменении положения фокальной плоскости для ряда значений отношения сферических аберраций третьего и пятого порядков.

Фиг. 7.2.

На фиг. 6.1 мы видели, что показатели качества соответствуют марешалевскому допуску при полной коррекции и фокусировке на для сферической аберрации пятого порядка При как видно из фиг. 7.1, кривые всех трех типов постепенно смещаются по направлению к зональному фокусу.

Из фиг. 7.2 видим, что в случае перекорректировки также происходит смещение от наилучшего фокуса для малых аберраций да к зональному фокусу. Все это соответствует тому, что следовало бы ожидать на основании чисто геометрического анализа условий фокусировки при больших аберрациях.