ГЛАВА 8. МАТРИЦЫ И ТЕОРИЯ КОГЕРЕНТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

§ 1. Введение. Функция взаимной когерентности Вольфа

В предыдущих главах мы ограничивались в основном анализом и синтезом оптических систем, работающих с некогерентным излучением. Только при рассмотрении некоторых специальных случаев мы переходили к системам, в которых линейно от точки к точке складываются комплексные амплитуды. Несомненно, между этими крайними случаями не должно быть резкого перехода, и, действительно, существует переходная область, известная под названием области частичной когерентности. Совершенное изложение вопросов частичной когерентности вместе с исключительно ценным историческим обзором дается в превосходной книге Борна и Вольфа

При изложении теории частичной когерентности в ее связи с проблемами формирования изображения мы примем феноменологический подход. Как с классической, так и с квантовой точки зрения представляется вполне естественным, что возмущения в двух точках должны быть коррелированы в пространстве и во времени. Луч света с полосой частот излучения испускаемый источником площадью должен давать эффекты когерентности в области протяженностью вдоль луча и в любых двух точках плоскости, перпендикулярной лучу, которые находятся в пределах дифракционного диска, соответствующего источнику о как отверстию дифракционной диафрагмы. В этом когерентном объеме реального пространства, соответствующем элементу фазового пространства, должно обнаруживаться фотонное вырождение. Хорошо известно, что свойства симметрии волновой функции бозонов приводят

непосредственно к их «притяжению» или сдваиванию.

Интерес к теории когерентности в значительной мере обусловлен широко известными опытами Брауна — Твисса [3] и разработкой лазеров, поскольку, как показал Мандель [2], вырождение может составлять от в опытах Брауна — Твисса до для газовых лазеров.

Учитывая необходимость применения в оптике таких величин, которые могут быть измерены, Вольф [4] показал, что для описания корреляции между оптическими возмущениями в двух точках пространственно-временной области вполне пригодна функция взаимной когерентности . Исходя из реального оптического возмущения, т. е. одной из декартовых компонент электрического вектора, мы представим его в виде интеграла Фурье, взятого по положительным частотам:

Этому реальному возмущению соответствует комплексное возмущение, которое называется «аналитическим сигналом»:

где

по реальная и мнимая составляющие не являются взаимонезависимыми. То обстоятельство, что спектр Фурье от исчезает для отрицательных частот, означает, что связаны друг с другом преобразованием Гильберта:

где символом Р обозначено главное значение интегралов при Правда, и, следовательно, не наблюдаются на оптических частотах. Наблюдать можно их средний квадрат, полученный усреднением за продолжительное время:

где

— спектр мощности сигнала который рассматривается как стационарная случайная функция времени. Угловые скобки указывают на усреднение по времени. После такого краткого введения мы определим функцию взаимной когерентности Вольфа через перекрестную корреляцию комплексного возмущения в двух точках пространства в различные моменты времени:

Заметим, что выражает корреляцию в двух точках пространства в одно и то же время и, поскольку эта величина пропорциональна контрасту полос в звездном интерферометре Майкельсона, ее пространственное преобразование Фурье дает информацию о распределении яркости в источнике излучения. Величина представляет собой значение функции корреляции в одной точке пространства для двух значений времени, и, поскольку она пропорциональна контрасту полос в двухлучевом интерферометре Майкельсона, ее временное преобразование Фурье дает информацию о спектральном распределении энергии источника. Короче говоря, звездный интерферометр Майкельсона является анализатором пространственных гармоник, а двухлучевой интерферометр — анализатором временных гармоник [5].

С функцией взаимной когерентности тесно связана нормированная комплексная степень когерентности, которая

определяется выражением

где — значения интенсивности в точках Амплитуда и фаза могут быть достаточно просто определены по величине контраста и положению полос, возникающих в результате иптерферепции света, вышедшего из точечных отверстий в точках непрозрачного экрана.