§ 5. Определение функции Грина

Теперь нашей основной задачей является определение функции Грина 1). Этот вопрос сам по себе может представить интерес для исследований. Но мы ограничимся двумя специальными случаями: случаем, когда коэффициенты линейного уравнения постоянны, и случаем, когда мы имеем самосопряженное дифференциальное уравнение Штурма — Лиувилля.

Постоянные коэффициенты.

Представим в виде интеграла Фурье:

Подставляя эти интегралы в уравнение (1.12), получаем соотношение

которым определяется и, следовательно, в виде

Здесь мы не будем останавливаться на том, как выбрать путь интегрирования [4] в комплексной плоскости, чтобы удовлетворить условиям физической осуществимости и устойчивости системы, т. е. граничным условиям, налагаемым на Позже при сравнении пространственных и временных фильтров мы вернемся к этому вопросу.

В качестве иллюстрации рассмотрим простой контур (фиг. 1.3).

Фиг. 1.3.

Функция Грина (импульсная реакция) определяется посредством быстрого размыкания и замыкания выключателя в момент так что

Выполняя соответствующие подстановки в выражение (1.14), получаем

Здесь достаточно сказать, что мы воспользовались обратным преобразованием Лапласа вместо преобразования Фурье, чтобы обеспечивалось выполнение условия при После всех выкладок имеем

Фиг. 1.4.

Если рассматривать схему фиг. 1.3 как фильтр, то его частотная характеристика может быть получена путем обратного преобразования выражения (1.13), осуществляемого следующим образом:

где (фиг. 1.4)

Дифференциальное уравнение Штурма — Лиувилля (уравнение . В соответствии с ортогональным характером решений однородного уравнения следующего из формулы (1.8), попытаемся теперь решить

уравнение

разлагая в ряд по собственным функциям удовлетворяющим уравнению

(следовательно, суть решения однородного уравнения ). Для функции Дирака мы имеем

где

что следует из ортогональности функций Так как является действительной симметричной «функцией» можно записать

Точно так же представим

и, подставив эти выражения в уравнение (1.15), получим

Но поскольку мы имеем

так что окончательно

В качестве простого примера, показывающего, как изложенные методы можно применять к многомерному случаю, рассмотрим электростатическое уравнение Пуассона.

В единицах системы МКС это уравнение имеет вид

где V — электростатический потенциал, обусловленный объемной плотностью заряда .

Фиг. 1.5.

Функция Грина удовлетворяет уравнению

где функция

символически представляет изолированный точечный заряд в пространстве. Потенциал в точке , обусловленный точечным зарядом, находящимся в точке

, описывается известным выражением

где

Таким образом, на основе принципа линейной суперпозиции потенциал , обусловленный зарядом (фиг. 1.5), находится как