Главная > Введение в статистическую оптику
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 5. Определение функции Грина

Теперь нашей основной задачей является определение функции Грина 1). Этот вопрос сам по себе может представить интерес для исследований. Но мы ограничимся двумя специальными случаями: случаем, когда коэффициенты линейного уравнения постоянны, и случаем, когда мы имеем самосопряженное дифференциальное уравнение Штурма — Лиувилля.

Постоянные коэффициенты.

Представим в виде интеграла Фурье:

Подставляя эти интегралы в уравнение (1.12), получаем соотношение

которым определяется и, следовательно, в виде

Здесь мы не будем останавливаться на том, как выбрать путь интегрирования [4] в комплексной плоскости, чтобы удовлетворить условиям физической осуществимости и устойчивости системы, т. е. граничным условиям, налагаемым на Позже при сравнении пространственных и временных фильтров мы вернемся к этому вопросу.

В качестве иллюстрации рассмотрим простой контур (фиг. 1.3).

Фиг. 1.3.

Функция Грина (импульсная реакция) определяется посредством быстрого размыкания и замыкания выключателя в момент так что

Выполняя соответствующие подстановки в выражение (1.14), получаем

Здесь достаточно сказать, что мы воспользовались обратным преобразованием Лапласа вместо преобразования Фурье, чтобы обеспечивалось выполнение условия при После всех выкладок имеем

Фиг. 1.4.

Если рассматривать схему фиг. 1.3 как фильтр, то его частотная характеристика может быть получена путем обратного преобразования выражения (1.13), осуществляемого следующим образом:

где (фиг. 1.4)

Дифференциальное уравнение Штурма — Лиувилля (уравнение . В соответствии с ортогональным характером решений однородного уравнения следующего из формулы (1.8), попытаемся теперь решить

уравнение

разлагая в ряд по собственным функциям удовлетворяющим уравнению

(следовательно, суть решения однородного уравнения ). Для функции Дирака мы имеем

где

что следует из ортогональности функций Так как является действительной симметричной «функцией» можно записать

Точно так же представим

и, подставив эти выражения в уравнение (1.15), получим

Но поскольку мы имеем

так что окончательно

В качестве простого примера, показывающего, как изложенные методы можно применять к многомерному случаю, рассмотрим электростатическое уравнение Пуассона.

В единицах системы МКС это уравнение имеет вид

где V — электростатический потенциал, обусловленный объемной плотностью заряда .

Фиг. 1.5.

Функция Грина удовлетворяет уравнению

где функция

символически представляет изолированный точечный заряд в пространстве. Потенциал в точке , обусловленный точечным зарядом, находящимся в точке

, описывается известным выражением

где

Таким образом, на основе принципа линейной суперпозиции потенциал , обусловленный зарядом (фиг. 1.5), находится как

1
Оглавление
email@scask.ru